[論文レビュー] Localizing the Elliott Conjecture at Strongly Self-absorbing C*-algebras --An Appendix

Huaxin Lin|ArXiv.org|Sep 11, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、局所的に有限な分解ランクと有限生成する $K$-理論をもつ、単位的で分離可能かつ単純な ${\cal Z}$-吸収的 $C^*$-代数の分類結果について、W. Winterの結果を技術的に裏付けるものである。二つのこのような代数がエリオット不変量を一致するならば、それらは同型であることが示され、$KK$-理論における漸近的ユニタリ同値と回転写像を用いて、UHF代数とテンソル積をとることで $KK$-同型が上に持ち上げられることを確立している。

ABSTRACT

This note provides some technical support to the proof of a result of W. Winter which shows that two unital separable simple amenable ${\cal Z}$-absorbing C*-algebras with locally finite decomposition property satisfying the UCT whose projections separate the traces are isomorphic if their $K$-theory is finitely generated and their Elliott invariants are the same.

研究の動機と目的

• 局所的に有限な分解ランクをもつ ${\cal Z}$-吸収的 $C^*$-代数の分類に関する W. Winter の結果の技術的基盤を提供すること。
• $KK$-同型が UHF代数とテンソル積をとることで $*$-同型に持ち上げられる条件を確立すること。
• 漸近的ユニタリ同値を決定する要因としての回転写像 $R_{\varphi,\psi}$ と $\tilde{\eta}_{\varphi_1,\varphi_2}$ 不変量の役割を分析すること。
• 特定の $K$-理論的条件下（ねじれ部分群が自由であるか、素数の位数を欠いている場合）で、$KK$-同型が ${\cal Z}$ とテンソル積をとることで同型に持ち上げられることを示すこと。

提案手法

• ホモモルフィズム $\varphi, \psi: A \to B$ を $Ext(A, SB)$ および $KK^1(A, SB)$ における拡張に関連付けるために、マッピングトーラス構成 $M_{\varphi,\psi}$ を用いる。
• ユニタリ $u(t)$ に対して、積分 $\frac{1}{2\pi i} \int_0^1 \tau(\frac{du}{dt} u^* ) dt$ を用いて、写像 $R_{\varphi,\psi}: K_1(M_{\varphi,\psi}) \to \text{Aff}(T(B))$ を定義する。
• Dadarlat-Loring の分裂完全列を $KK$-理論に適用し、$A$ がUCTを満たすとき、$K_1(M_{\varphi,\psi}) \cong K_0(B) \oplus K_1(A)$ に分解することを示す。
• $\theta(K_1(A)) \subset \ker R_{\varphi,\psi}$ を保証するため、不変量 $\tilde{\eta}_{\varphi_1,\varphi_2} = 0$ を導入し、回転が自明であることを検出する。
• 定理 2.5 を用いて、$[\varphi_1] = [\varphi_2]$ in $KK$、$\tau \circ \varphi_1 = \tau \circ \varphi_2$、および $\tilde{\eta}_{\varphi_1,\varphi_2} = 0$ のとき、$\varphi_1, \varphi_2$ が強く漸近的ユニタリ同値であることを示す。
• $KK$-元を用いて、$\sigma_{\mathfrak{p}}: A \otimes M_{\mathfrak{p}} \to B \otimes M_{\mathfrak{p}}$ および $\rho_{\mathfrak{q}}: A \otimes M_{\mathfrak{q}} \to B \otimes M_{\mathfrak{q}}$ の同型を構成し、それらの整合性を用いて $A \otimes \mathcal{Z} \cong B \otimes \mathcal{Z}$ に持ち上げることを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの ${\cal Z}$-吸収的 $C^*$-代数間の $KK$-同型が、UHF代数とテンソル積をとることで $*$-同型に持ち上げられる条件は何か？
• RQ2 回転写像 $R_{\varphi,\psi}$ は、$*$-ホモモルフィズムの漸近的ユニタリ同値性の障害をどのように検出するか？
• RQ3 $\tilde{\eta}_{\varphi_1,\varphi_2}$ 不変量は、$KK$-同型が同型に持ち上げられるために果たす役割は何か？
• RQ4 $K_0$ および $K_1$ のねじれ部分群に共通する素数の位数がない場合、$KK$-同型が同型に持ち上げられる条件は何か？
• RQ5 すべての UHF代数 $C$ に対して $A \otimes C$ がトレースランク 0 をもつという事実から、$A$ 自身がトレースランク 0 をもつと結論づけられるか？

主な発見

• $A$ と $B$ が単位的で分離可能かつ単純な ${\cal Z}$-吸収的 $C^*$-代数であり、局所的に有限な分解ランクと有限生成する $K$-理論をもち、エリオット不変量が同型であるならば、$A \otimes \mathcal{Z} \cong B \otimes \mathcal{Z}$ が成り立つ。
• $Tor(K_0(A))$ と $Tor(K_1(A))$ が共通する素数の位数を欠いているとき、互いに素な超自然整数 $\mathfrak{p}, \mathfrak{q}$ が存在し、$i=0,1$ に対して $K_i(A \otimes M_{\mathfrak{p}})$ はねじれ自由である。
• $\sigma_{\mathfrak{p}} \otimes \text{id}_{M_{\mathfrak{q}}}$ および $\rho_{\mathfrak{q}} \otimes \text{id}_{M_{\mathfrak{p}}}$ は強く漸近的ユニタリ同値であり、$KK$-同型の持ち上げを可能にする。
• $K_i(A) = Tor(K_i(A)) \oplus G_i$ で $G_i$ がねじれ自由であるとき、$A \otimes M_{\mathfrak{p}}$ は弱く非分解的である $K_0$ とねじれ自由な像をもつ $K_1$ を持ち、$KK$-同型の持ち上げを支援する。
• 単位的で分離可能かつ単純な ${\cal Z}$-吸収的 ASH代数 $A$ がトレースを分離する射影をもち、$K_0(A)$ がリーマンの補間性質をもつとき、$K_0(A)/Tor(K_0(A)) \not\cong \mathbb{Z}$ ならば、$A$ はトレースランク 0 をもち、次元成長なしで実数階数 0 のAH代数に同型である。
• この結果は、$K$-理論的条件下で、$A \cong B \otimes \mathcal{Z}$ が成り立つことを示唆しており、$B$ は実数階数 0 で次元成長なしの単純なAH代数である。