[論文レビュー] Localizing Volatilities

Marc Atlan|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2006

Market Dynamics and Volatility被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Gy€¶ngy (1986) の模倣拡散定理を用いて、確率的ボラティリティモデルと確率的金利を備えたモデルと、決定論的金利を備えたローカルボラティリティモデルとの間の厳密な関係を確立する。Besselに基づく確率的ボラティリティモデルにおけるローカルボラティリティの明示的公式を導出し、Dupireのローカルボラティリティフレームワークをハイブリッド金利-ボラティリティ設定に拡張し、市場オプションプライスではなく確率的ボラティリティモデルからローカルボラティリティ・サーフェスを安定して構築できることを示す。

ABSTRACT

We propose two main applications of Gyöngy (1986)'s construction of inhomogeneous Markovian stochastic differential equations that mimick the one-dimensional marginals of continuous Itô processes. Firstly, we prove Dupire (1994) and Derman and Kani (1994)'s result. We then present Bessel-based stochastic volatility models in which this relation is used to compute analytical formulas for the local volatility. Secondly, we use these mimicking techniques to extend the well-known local volatility results to a stochastic interest rates framework.

研究の動機と目的

• Dupire (1994) および Derman and Kani (1994) のローカルボラティリティフレームワークを、確率的金利を備えたモデルに拡張すること。
• スケーリングおよび条件付き確率の性質を用いて、Besselに基づく確率的ボラティリティモデルからローカルボラティリティサーフェスを解析的に導出できることを示すこと。
• 市場インプライドのローカルボラティリティサーフェスが数値的に不安定であることが知られているのに対し、安定したモデルベースの代替策を確立すること。
• リスク中立測度の下で、ハイブリッド金利-ボラティリティモデルにおけるローカルボラティリティと確率的ボラティリティの関係を形式化すること。
• 株価-ボラティリティ相関およびハイブリッド相関リスクがローカルボラティリティサーフェスに与える影響を調査すること。

提案手法

• 連続イト過程の1次元的マージナル分布を模倣する非一様マルコフ型SDEを構築するために、Gy€¶ngy (1986) の定理を適用する。
• Bessel過程およびそのスケーリング性質を用いて、確率的ボラティリティモデルにおけるインテグレーテッドボラティリティと株価の同時分布の明示的表現を導出する。
• ローカルボラティリティ関数をT-フォワード測度における瞬間的分散の条件付き期待値として導出する：$\sigma^2(t,x) = \mathbb{E}^T[V_t + 2\rho\sqrt{V_t}\sigma_B(t,T) + \sigma_B^2(t,T) \mid S_t = xB(t,T)e^{\int_t^T f(0,s)ds}]$。
• T-フォワード測度におけるフォワードレートダイナミクスに定理を適用し、フォワードプライスのローカルボラティリティが確率的モデルにおける瞬間的ボラティリティの条件付き期待値と一致することを示す。
• Lévy面積の公式およびBessel過程のラプラス変換を用いて、インテグレーテッドボラティリティおよび株価の特性関数を計算する。
• ボラティリティ拡散がBessel過程の決定論的時間および空間変換である一般枠組みを導出し、解析的取り扱いの可能性を高める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定論的金利を備えたローカルボラティリティモデルは、確率的金利を備えた確率的ボラティリティモデルにおける株価とボラティリティの同時分布を再現できるか？
• RQ2 株価とその確率的ボラティリティの相関がローカルボラティリティサーフェスの形状にどのように影響するか？
• RQ3 模倣拡散定理を用いて、Besselに基づく確率的ボラティリティモデルにおいてローカルボラティリティの解析的公式を導出できるか？
• RQ4 確率的金利設定下でローカルボラティリティサーフェスをキャリブレートする際、金利とボラティリティの間のハイブリッド相関リスク（ハイブリッド相関）の役割は何か？
• RQ5 市場オプションプライスではなく、確率的ボラティリティモデルから安定したローカルボラティリティサーフェスを構築することは可能か？また、その利点は何か？

主な発見

• 決定論的金利を備えたモデルにおけるローカルボラティリティサーフェスは、T-フォワード測度の下で、確率的ボラティリティモデルにおける瞬間的分散の条件付き期待値として導出可能である。
• 公式 $\sigma^2(t,x) = \mathbb{E}^T[V_t + 2\rho\sqrt{V_t}\sigma_B(t,T) + \sigma_B^2(t,T) \mid S_t = xB(t,T)e^{\int_t^T f(0,s)ds}]$ は、ハイブリッドモデルにおけるローカルボラティリティの閉形式表現を提供する。
• 市場オプションプライスからDupire PDEを用いて得られるものとは異なり、確率的ボラティリティモデルから構築されたローカルボラティリティサーフェスは滑らかでより安定している。
• Bessel過程は、スケーリングおよび条件付き確率の性質のおかげで、解析的計算が可能な確率的ボラティリティモデルのクラスを提供する。
• このフレームワークは、株価-ボラティリティの独立および相関ダイナミクスの両方を扱える。相関パラメータ $\rho$ は、ローカルボラティリティサーフェスのスケイを直接的に影響する。
• 本論文は、金利が確率的である場合にはハイブリッド相関（HC）仮説をローカルボラティリティサーフェスに組み込む必要があることを確立しており、これはハイブリッドリスクに対する市場プレミアムを示唆している。