[論文レビュー] Locally analytic vectors in representations of locally p-adic analytic groups

Matthew Emerton|ArXiv.org|May 7, 2004

Advanced Algebra and Geometry被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、解析的半径が異なるバナッハ空間の帰納極限としての局所的解析的ベクトルに注目することで、局所的解析的表現論の基礎的枠組みを構築する。本稿では、本質的に許容可能な表現の概念を導入し、局所的に代数的である $G \times \Gamma$ の許容可能な局所的解析的表現が、その最も強い凸位相を備えていることを確立する。これは $p$-進自己形式および対称空間の研究に重要な道具を提供する。

ABSTRACT

This paper develops various foundational results in the locally analytic representation theory of p-adic groups. In particular, we define the functor ``pass to locally analytic vectors'', which attaches to any continuous representation of a p-adic analytic group on a locally convex p-adic topological vector space the associated space of locally analytic vectors. Using this functor, and the point of view that its construction suggests, we establish some basic facts about admissible locally analytic representations (as defined by Schneider and Teitelbaum). We also introduce the related notion of essentially admissible locally analytic representations.

研究の動機と目的

• 局所的解析的ベクトルの帰納極限構造に中心を置いた、局所的解析的表現論の体系的枠組みの確立。
• 従来のものよりも洗練された、より自然な位相を備えた、局所的解析的ベクトル空間 $V_{\text{la}}$ の定義と分析。
• 自己形式理論への応用において極めて重要な、本質的に許容可能な表現の概念の導入。
• 許容可能な局所的解析的表現における局所的に代数的ベクトルの位相的および表現論的性質の明確化。
• $p$-進対称空間および算術幾何におけるコhomological構成の研究のための基礎的道具の提供。

提案手法

• 解析的開部分群 ${\mathbb{H}}$ に対する ${\mathbb{H}}$-解析的ベクトル空間 $V_{{\mathbb{H}}-\text{an}}$ の族の帰納極限として $V_{\text{la}}$ を定義する。
• $V_{\text{la}}$ を $\mathcal{C}^{\text{la}}(G,V)$ からの部分空間位相よりも洗練された位相で装備し、バナッハ空間の厳密な帰納極限とする。
• チャート $(\phi, H, \mathbb{H})$ を用いて $G$ 上の局所的解析的構造を定義し、$H \cong \mathbb{H}(L)$ を剛体解析的群として同定する。
• 圏 $\mathcal{R}$ 内の対象 $W$ に対して局所的 $W$-代数的ベクトル $V_{W-\text{lalg}}$ を定義し、その関手的および閉性を示す。
• 許容可能な表現において $V_{W-\text{lalg}}$ が閉じており、既約な $W$ に関する直和が $V_{\text{lalg}}$ を与えることを示し、自然な同型を確立する。
• 局所的に代数的である $G \times \Gamma$ の許容可能な局所的解析的表現は、$U \otimes_B W$ に同型であり、$U$ は許容可能な滑らかな表現、$B = \text{End}_G(W)$ であることを証明し、このような表現がその最も強い凸位相を備えていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的解析的ベクトル空間がバナッハ空間の帰納極限としての構造を反映するように、どのように位相を付与できるか？
• RQ2 許容可能な局所的解析的表現において、局所的に代数的ベクトルの部分空間が閉じるための条件は何か？
• RQ3 $G \times \Gamma$ の許容可能な局所的解析的表現が、滑らかで代数的部品のテンソル積にどのように分解されるか、どのような意味で？
• RQ4 局所的に代数的である許容可能な局所的解析的表現の文脈で、最も強い凸位相がどのように自然に生じるか？
• RQ5 解析的ベクトルの帰納極限構造が、$p$-進対称空間およびコhomological構成の研究において果たす役割は何か？

主な発見

• 局所的解析的ベクトル空間 $V_{\text{la}}$ は、自然にバナッハ空間の局所凸帰納極限となる位相を備えており、以前の研究で用いられた位相を洗練したものである。
• ${\mathbb{G}}$-解析的作用を備えたバナッハ空間上の表現に対して、$V_{{\mathbb{G}}-\text{an}}$ は、そのようなバナッハ空間への $G$--equivariant 写像の帰納極限として定義される。
• 許容可能な局所的解析的表現 $V$ において、局所的 $W$-代数的ベクトルの部分空間 $V_{W-\text{lalg}}$ は閉じており、これは命題 7.2.13 で示されている。
• 直和 $\bigoplus_{W \in \hat{\mathbb{G}}} V_{W-\text{lalg}}$ は $V_{\text{lalg}}$ に同型であり、局所的に代数的ベクトルの自然な分解を確立する。
• 局所的に代数的である許容可能な局所的解析的表現 $V$ は、命題 7.2.14 で示されるように、その最も強い凸位相を備えている。
• 局所的に $W$-代数的である任意の許容可能な局所的解析的表現は、命題 7.2.15 で述べられるように、$U$ を $G \times \Gamma$ 上の許容可能な滑らかな表現、$B = \text{End}_G(W)$ を有限次元 $K$-代数として、$U \otimes_B W$ として得られる。