[論文レビュー] Locally compact groups whose ergodic or minimal actions are all free

Adrien Le Boudec, Nicolás Matte Bon|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非自明な不変確率的部分群（IRS）や一様再発的部分群（URS）を一切持たない、非離散的で局所コンパクトな群の、これまでに知られていた最初の例を構成する。双近似技術および局所体や無限行列への群作用を用いて、区分的アフィン同相群や無限行列群の特定のクラスが、唯一の自明なIRSおよびURSしか持たないことを示し、局所コンパクトな設定における自由作用に関する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We construct locally compact groups with no non-trivial Invariant Random Subgroups and no non-trivial Uniformly Recurrent Subgroups.

研究の動機と目的

• 非自明な不変確率的部分群（IRS）を一切持たない非離散的で局所コンパクトな群の構成。
• 非自明な一様再発的部分群（URS）を一切持たない非離散的で局所コンパクトな群の構成。
• 離散的でない設定において、このような群の存在に関する未解決問題の解消。
• これらの群のすべてのエルゴード的かつ最小的作用が本質的に自由または位相的に自由であることを確立すること。

提案手法

• $p$-進体上の区分的アフィン同相群 $\mathrm{PL}(\mathbb{Q}_p)$ の部分群として群を構成する。
• ネストされた開部分群 $G_n$ と正規コンパクト部分群 $U_n$ を用いた双近似、ただし $\bigcap U_n = 1$ である。
• Corollary 3.18 および Theorem 3.24 を適用し、商群 $G_n/U_n$ が非自明なIRSやURSを持たないならば、$G$ も同様に非自明なIRSやURSを持たないことを示す。
• 既知の結果 $\mathrm{Alt}_f(\Omega)$ および $\mathrm{SL}(d,\mathbb{Q})$（$d \geq 3$）を活用し、これらが非自明なIRSを持たないことを用いる。
• このような群における有限体積部分群は商群へ全射となることから、稠密性が導かれ、結果として群全体に一致することを示す。
• 作用とIRS/URSとの間の安定化子対応を適用し、エルゴード的かつ最小的作用が自由であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非離散的で局所コンパクトな群で、すべてのエルゴード的測度保存作用が本質的に自由となるようなものが存在するか？
• RQ2 局所コンパクト群で非自明な一様再発的部分群（URS）を持たないものを構成できるか？
• RQ3 非離散的でコンパクト生成な局所コンパクト群で、非自明なIRSやURSを持たないものは存在するか？
• RQ4 双近似技術を用いて、IRSおよびURSスペクトルが自明となる群を構成できるか？
• RQ5 木や無限行列への作用において、局所作用を指定した群は、非自明なIRSを持たない例を生み出すか？

主な発見

• 双近似を用いて構成された群 $G \leq \mathrm{PL}(\mathbb{Q}_p)$ は、非自明なIRSを持たない。すべてのこのような測度は $\delta_1$ と $\delta_G$ の凸結合に限る。
• 同じ群 $G$ は非自明なURSも持たない。つまり、唯一の最小的作用は自明または位相的に自由である。
• $d \geq 3$ に対して、群 $\mathrm{PSL}(d,\mathbb{Q})$ は非自明なIRSを持たない。この事実は、さらなる例の構成に用いられる。
• 群 $G = \langle \mathrm{SL}(\infty,\mathbb{Q}) \cup \prod D_n \rangle$ で $D_n \leq \mathrm{SL}(k_n,\mathbb{Q})$ であるが、$d_n$ が無限回奇数となる限り、非自明なIRSを持たない。
• 構成された群の任意の閉部分群で有限体積をもつものは、稠密であり、したがって群全体に一致する。よって、真の有限体積部分群は存在しない。
• 結果として、構成された群のすべてのエルゴード的かつ最小的作用が、それぞれ本質的に自由または位相的に自由であることが確認された。