[論文レビュー] Locally computable approximations for spectral clustering and absorption times of random walks

Pekka Orponen, Satu Elisa Schaeffer+1 more|ArXiv.org|Oct 22, 2008

Complex Network Analysis Techniques参考文献 33被引用数 9

ひとこと要約

この論文では、ランダムウォークの吸収時間を用いて、シード頂点の周辺に局所的クラスタを特定するための局所的に計算可能なスペクトルクラスタリングの近似手法を提案する。主固有ベクトル（ディリクレ＝フィードラー・ベクトル）を勾配降下法により近似することで、グローバルな計算を伴わず、効率的な局所的二値分類が可能となり、スペクトルギャップが存在しない場合でさえも、正確な吸収時間と高い相関を示す。

ABSTRACT

We address the problem of determining a natural local neighbourhood or "cluster" associated to a given seed vertex in an undirected graph. We formulate the task in terms of absorption times of random walks from other vertices to the vertex of interest, and observe that these times are well approximated by the components of the principal eigenvector of the corresponding fundamental matrix of the graph's adjacency matrix. We further present a locally computable gradient-descent method to estimate this Dirichlet-Fiedler vector, based on minimising the respective Rayleigh quotient. Experimental evaluation shows that the approximations behave well and yield well-defined local clusters.

研究の動機と目的

• 大規模なグラフにおいて、グローバルなスペクトル計算を伴わず、シード頂点の周辺に局所的クラスタを特定する手法を開発すること。
• ランダムウォークの吸収時間を用いて、頂点のシードからの近接度をモデル化すること。
• フィードラー・ベクトルに対する局所的に計算可能な勾配降下法を用いて、これらの吸収時間を近似すること。
• シード頂点に対する「関連する」および「関連しない」頂点にグラフを二値分類するため、局所的情報のみを用いて可能にすること。
• ザッハリ・カレッジ・クラブネットワークなどの実世界のグラフ上で、本手法を検証し、スペクトルギャップが存在しない場合でも、頑健な性能を示すこと。

提案手法

• グラフの隣接行列から導かれる基本行列の主固有ベクトルを用いて、シード頂点への吸収時間を関数として定式化する。
• ディリクレ＝フィードラー・ベクトルを局所的に反復的に近似するために、レイリー商の最小化を用いる。
• 更新が収束するまで、現在関連のある頂点の近傍のみを処理する勾配降下法アルゴリズムを適用する。
• 収束の判定基準として、許容誤差パラメータδおよびεを用いるが、キャリブレーションは今後の課題として残す。
• 得られた近似フィードラー値を一次元の二値分類のための近接度スコアとして扱う。
• k-meansなどの標準的な分類器を用いて、近接度スコアに基づき、シードのクラスタとそれ以外の頂点に分割する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シード頂点へのランダムウォークの吸収時間は、グローバルな情報なしに、局所的なグラフ情報のみを用いて効率的に近似可能か？
• RQ2 スペクトルギャップが存在しない状況下でも、局所的に計算されたフィードラー・ベクトルは、正確な吸収時間とどの程度相関するか？
• RQ3 フィードラー・ベクトルから導かれる近似近接度スコアは、二値分類を用いた有効な局所的クラスタリングを可能にするか？
• RQ4 スペクトルギャップの有無が、近似の正確性に与える影響は何か？
• RQ5 グローバルパラメータの事前知識がなくても、グラフ構造に適応可能な手法にできるか？

主な発見

• スペクトルギャップが存在しない場合でさえも、局所的に計算されたフィードラー・ベクトルは、正確な吸収時間と高い相関を示す。
• 本手法は、特にシード頂点が中心的である場合に、ザッハリ・カレッジ・クラブ・ネットワークにおいて意味のある局所的クラスタを的確に特定できた。
• 近似吸収時間により、シード頂点のクラスタとそれ以外の頂点に効果的な二値分類が可能となり、局所的クラスタリングの有効性が示された。
• 勾配降下法は関連する局所的近傍のみを処理するため、グローバル計算を回避でき、大規模グラフへのスケーラビリティを実現した。
• 境界領域の頂点に対しても、本手法は頑健であるが、予想通り分類が困難であることも確認された。
• 予備的な結果から、本手法は実世界の応用に適しており、重み付きおよび有向グラフへの拡張も可能であると示唆された。