[論文レビュー] Locally conformal Kaehler reduction

Rosa Gini, Liviu Ornea+1 more|ArXiv.org|Aug 27, 2002

Microtubule and mitosis dynamics参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、局所的共形ケーラー（LCK）多様体に対する新しい還元理論を、ねじれハミルトニアン作用におけるモーメント写像を定義することで確立する。これは未発表の Biquard-Gauduchon の構成と同値であることを証明する。さらに、LCK 還元が普遍被覆のケーラー還元およびササキ還元と両立することを示し、球面および複素射影空間上の重み付きササキ構造の還元によって新しいバイスマン多様体を構成可能となる。

ABSTRACT

We define reduction of locally conformal Kaehler manifolds, considered as conformal Hermitian manifolds, and we show its equivalence with an unpublished construction given by Biquard and Gauduchon. We show the compatibility between this reduction and Kaehler reduction of the universal cover. By a recent result of Kamishima and the second author, in the Vaisman case (that is, when a metric in the conformal class has parallel Lee form) if the manifold is compact its universal cover comes equipped with the structure of Kaehler cone over a Sasaki compact manifold. We show the compatibility between our reduction and Sasaki reduction, hence describing a subgroup of automorphisms whose action causes reduction to bear a Vaisman structure. Then we apply this theory to construct a wide class of Vaisman manifolds.

研究の動機と目的

• 局所的共形ケーラー多様体に対する一貫性のある還元手順を、ねじれハミルトニアン群作用を用いて定義すること。
• 提案された還元が、未発表の Biquard-Gauduchon の商構成と同値であることを証明すること。
• LCK 還元と普遍被覆のケーラー還元の間の整合性を確立し、特にバイスマンの場合に焦点を当てる。
• LCK 還元とササキ還元の整合性を示し、ササキ商から新しいバイスマン多様体を構成すること。
• 理論を応用して、レンズ空間に微分同相な多様体、球面の積、複素射影空間と S¹ の積を含む広範なクラスのバイスマン多様体を生成すること。

提案手法

• Vaisman (1985) が導入したねじれハミルトニアン作用の概念を用い、局所的共形ケーラー自己同型の作用に対してモーメント写像を定義する。
• 自由かつ適切な作用のもとで、モーメント写像の値 0 の逆像を群作用で商することで、LCK 多様体の還元を構成する。
• 元の LCK 多様体上の複素構造が商多様体上に引き継がれ、LCK 構造が保存されることを示す。
• 普遍被覆が同位的ケーラー構造を備えることから、LCK 還元が普遍被覆のケーラー還元と関係することを示す。
• コーン構成を用いてササキ多様体への還元を適用し、球面上の重み付き S¹-作用を用いて商を得る。
• レベル集合 μ⁻¹(0) と球面や複素射影空間の積との微分同相性を用い、還元されたバイスマン多様体の位相的型を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれハミルトニアン群作用を用いて、局所的共形ケーラー多様体に対して一貫性のあるモーメント写像に基づく還元を定義可能か？
• RQ2 提案された還元は、LCK 環境における未発表の Biquard-Gauduchon 商構成と同値か？
• RQ3 LCK 還元は、特にバイスマンの場合に、普遍被覆におけるケーラー還元とどのように関係するか？
• RQ4 ササキ還元を上に持ち上げることで、得られる商多様体にバイスマン構造を構成可能か？
• RQ5 この還元手順によってどのような位相的型のバイスマン多様体を構成可能か？

主な発見

• 提案された LCK 還元は Biquard-Gauduchon の構成と同値であり、新たなモーメント写像アプローチの妥当性が裏付けられる。
• バイスマンの場合、普遍被覆（ケーラー・コーン）の還元がケーラー還元に対応し、大域的および局所的還元手続きの強い整合性が確立される。
• 球面上の重み付き S¹-作用のササキ還元により、球面の積、レンズ空間、または複素射影空間に微分同相な商が得られる。
• 重みに1つの負とそれ以外が正のものがある場合、商 S(Λ) は S²ⁿ⁻³ に微分同相であり、2つの負と2つの正の重みがある場合、S³×S³ に微分同相である。
• n=4s のとき、(S⁴ˢ⁻¹×ℂℙ²ˢ⁻¹)×S¹ 上にバイスマン構造の族が得られ、既知の例（ホフプ・表面やレンズ空間バンドル）を一般化する。
• 具体的な例として、n=3 のとき L(p,1)×S¹ 上にバイスマン構造が存在し、n=4 のとき S³×S²×S¹ 上には半ケーラー構造が存在し、twistor 空間としても実現可能である。