[論文レビュー] Locally conformal parallel $G_2$ and $Spin(7)$ manifolds

Stefan Ivanov, Maurizio Parton+1 more|ArXiv.org|Sep 2, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、コンpaktoな局所的に共形的平行 G₂ および Spin(7) 多様体を、それぞれコンパクトなほぼケーラーまたはほぼ平行 G₂ 多様体を基にする、有限群作用を伴う円周 bundle として特徴づける。主な結果は、特定の同次的ファイバー幾何を持つ S¹ へのファイブレーションからこのような構造が生じることを示しており、局所的構造が平坦な場合、多様体は球面空間形式と S¹ の直積である。

ABSTRACT

We characterize compact locally conformal parallel $G_2$ (respectively, $Spin(7)$) manifolds as fiber bundles over $S^1$ with compact nearly Kähler (respectively, compact nearly parallel $G_2$) fiber. A more specific characterization is provided when the local parallel structures are flat.

研究の動機と目的

• 局所的に共形的平行 G₂ および Spin(7) 構造をもつコンパクトなリーマン多様体の 7 次元および 8 次元多様体を分類すること。
• S¹ へのファイブレーションを通じて、このような多様体のグローバル幾何的構造を理解すること。
• 平坦な局所的に共形的平行構造の分類を、S⁷ に自由に作用する Spin(7) の部分群の特定に還元すること。
• コーン被覆と群商を用いた幾何的実現を通じて、これらの構造を提供すること。
• このような構造の存在を、既知の球面空間形式およびほぼ平行 G₂ 多様体の分類と結びつけること。

提案手法

• 局所的に共形的平行構造を特徴づけるためにリー形式 θ を用い、dθ = 0 かつ G₂ の場合 dω = (3/4)θ ∧ ω、Spin(7) の場合 dφ = θ ∧ φ を満たす。
• シンプレクティック幾何学における商構成法を、コンパクトなほぼケーラーまたはほぼ平行 G₂ ファイバーを持つ S¹ へのファイバー束に適用する。
• 多様体の普遍被覆を、ファイバー N/Γ 上のコーンとして構成し、巡回的無限被覆群を用いる。
• 平坦な局所的に共形的平行 G₂ および Spin(7) 構造が、R⁷ および R⁸ 上の平坦計量の共形的スケーリングから生じることを活用する。
• Spin(7) のオクタニオン構造を用いて、虚オクタニオンによる右乗法により S⁷ に自由に作用する Spin(7) の有限部分群を生成する。
• J. ワルフによる SO(8) の有限部分群の分類を応用し、S⁷/Γ が Spin(7) 構造と整合する滑らかな球面空間形式を与えるような商を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的に共形的平行 G₂ 構造をもつコンパクト多様体のグローバルな位相的構造は何か？
• RQ2 局所的に共形的平行 Spin(7) 構造は、ファイバー上のほぼ平行 G₂ 構造とどのように関係するか？
• RQ3 平坦な局所的に共形的平行 Spin(7) 構造をもつコンパクト 8 次元多様体が、S⁷ × S¹ の商から生じる条件は何か？
• RQ4 SO(8) のどの有限部分群が Spin(7) に含まれ、S⁷ に自由に作用して滑らかな球面空間形式を与えるか？
• RQ5 すべてのコンパクトな局所的に共形的平行平坦な Spin(7) 多様体が、有限群 Γ ⊂ Spin(7) に対して (S⁷/Γ) × S¹ として実現可能か？

主な発見

• コンパクトな 7 次元多様体が局所的に共形的平行 G₂ 構造をもつための必要十分条件は、N/Γ をファイバーとする S¹ へのファイバー束であること。ここで N はコンパクトかつ simply connected なほぼケーラー 6 次元多様体であり、Γ は自由に作用する複素等長変換の有限群である。
• ファイバー N/Γ 上のコーンは、多様体 M を被覆し、巡回的無限被覆群を介してコーン構成と幾何的関係を確立する。
• 平坦な局所的に共形的平行 G₂ 構造では、多様体は S⁶（標準的なほぼケーラー 6 次元球面）への自明な円周束である。
• コンパクトな 8 次元多様体が局所的に共形的平行 Spin(7) 構造をもつための必要十分条件は、N/Γ をファイバーとする S¹ へのファイバー束であること。ここで N はコンパクトかつ simply connected なほぼ平行 G₂ 多様体であり、Γ は自由に作用する等長変換の有限群である。
• 平坦な場合、多様体は (S⁷/Γ) × S¹ に微分同相である。ここで Γ は S⁷ に自由に作用する Spin(7) の有限部分群である。
• すべてのこのような平坦な局所的に共形的平行 Spin(7) 構造は、SO(8) に含まれ、S⁷ に自由に作用する、J. ワルフが分類した Spin(7) の有限部分群から生じる。