[論文レビュー] Locally conformally Kähler manifolds. A selection of results

Liviu Ornea|ArXiv.org|Nov 23, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 39被引用数 16

ひとこと要約

この論文は1997年以降の局所的コンフォーマルケーラー（l.c.K.）幾何学における最近の進展を概説し、Vaisman構造、ポテンシャルを持つl.c.K.多様体、およびそれらがササキアン幾何学とどのように関係するかに焦点を当てる。埋め込み定理、還元手続き、安定性に関する結果を確立するとともに、コンパクトl.c.K.多様体のモジュライ、特異点、曲率、基本群に関する未解決問題を強調する。

ABSTRACT

I present a selection of results on locally conformally Kähler geometry published after 1997. The proofs are mainly sketched, some of them are even omitted. Several open problems are indicated in the end.

研究の動機と目的

• 1997年以降の局所的コンフォーマルケーラー幾何学における主要な発展を統合・要約すること、特にVaisman多様体およびポテンシャルを持つl.c.K.多様体に焦点を当てる。
• l.c.K.幾何学とササキアン幾何学の関係を、特にコーン構成と還元理論を通じて明確化すること。
• コンパクトl.c.K.多様体に対して、埋め込み定理および小さな変形における安定性に関する新しい構造的結果を提示すること。
• l.c.K.多様体のモジュライ空間、特異点、曲率、基本群に関する未解決問題を特定し、枠組みを提示すること。
• l.c.K.還元が最小提示と整合するか、および幾何的不変量（ランク、Vaisman構造など）が保存されるかを検討すること。

提案手法

• コンパクトVaisman多様体上のGauduchon計量を用いて安定性理論を構築し、調和形式およびベクトル場を分析する。
• コーン構成を介して、シンプレクティックおよびケーラー還元技術をl.c.K.構造に応用し、ササキアン多様体からVaisman多様体への還元を昇降する。
• 重みバンドルとLee形式を用いたl.c.K.多様体の最小提示を用いて、還元および埋め込み定理を一般化する。
• Dolbeaultコホモロジーおよび消滅定理などの代数的幾何的技法を適用し、Vaisman多様体に対するKodaira型埋め込み結果を導出する。
• l.c.K.構造にポテンシャルを持つという概念を用いて、ホフマン多様体を一般化し、複素次元≥3の場合に線形ホフマン多様体への埋め込み定理を証明する。
• 提示によるl.c.K.構造の新しい同値定義を導入し、ケーラー幾何との双対性の理解を深めるとともに、l.c.K.構造に対する新しい不変量を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトVaisman多様体の構造は何か？ そして、コーン構成を通じてササキアン幾何学とどのように関係するか？
• RQ2 複素次元≥3のコンパクトl.c.K.多様体にポテンシャルを持つものについて、線形ホフマン多様体への埋め込みは可能か？ その条件は何か？
• RQ3 オイラー＝ポワンカレ係数が非ゼロであるコンパクト複素曲面のうち、ベルグルンの分類でカバーされないものにl.c.K.計量が存在するか？
• RQ4 l.c.K.還元によって、l.c.K.多様体にポテンシャルを持つクラスは保存されるか？ また、非Vaisman多様体の還元によって得られる商多様体はVaisman構造を持つだろうか？
• RQ5 d^θ-コホモロジーが自明であり、モース理論の制限があるにもかかわらず、l.c.K.多様体に対して凸性理論を構築できるか？

主な発見

• コンパクトVaisman多様体は、トポロジカルおよび幾何学的に完全に分類されており、コーン構成を通じてササキアン幾何学に還元可能である。
• 任意の複素次元が3以上のコンパクトl.c.K.多様体にポテンシャルを持つものは、線形ホフマン多様体への正則埋め込みを有する。
• l.c.K.還元手続きは最小提示およびl.c.K.構造のランクを保存し、還元された多様体は元の多様体から最小提示を引き継ぐ。
• l.c.K.多様体の自己同型群はハミルトニアン作用を用いて研究され、還元プロセスはVaisman多様体の構造定理と整合する。
• l.c.K.多様体のリッチに類似した曲率およびWeyl-リッチテンソルは、特にEinstein-Weylの場合に位相的制限を課す。
• 提示によるl.c.K.構造の新しい同値定義は、ケーラー幾何との双対性を明確にし、l.c.K.構造に対する新しい不変量を提供する。