[論文レビュー] Locally conformally Kaehler metrics on Kato surfaces

Marco Brunella|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2010

Geometry and complex manifolds被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、デック変換の下で共形に変換するユニバーサル被覆上のケーラー形式を構成することにより、任意のカトウ面が局所的に共形的ケーラー（lcK）計量をもつことを証明している。この構成はポテンシャル関数、擬上膜関数の正則化、および正則的埋め込み σ∘π を用いた共形的接合を含み、ユニバーサル被覆がケーラー的であることを確立し、すべてのカトウ面上での lcK 計量の存在を裏付けている。

ABSTRACT

We show that every Kato surface (or surface with a global spherical shell) admits a locally conformally Kaehler metric.

研究の動機と目的

• すべてのカトウ面上での局所的に共形的ケーラー計量の存在を確立すること。
• 安定性結果に依存しないように、このような計量を構成的に構築することにより、先行研究におけるギャップを解消すること。
• カトウ面のユニバーサル被覆がケーラー的であることを示すこと。これは主定理の帰結である。
• ポテンシャル関数と正則化を用いた構成的手法により、lcK 計量を構築すること。
• この構成がカトウ面の族へと拡張可能であり、一様な族の lcK 計量が得られることを示すこと。

提案手法

• ℂ² 内の単位球のブ lows-up 上にケーラー形式 ω₀ を構成し、その後 σ(0) の近傍で、0 にモース的最小値を持つ厳密に擬上膜関数 φ を用いて変形する。
• φ を φ − ReM に置き換えることでポテンシャルを正則化し、0 に最小値を持つように保証し、B 上での新しいポテンシャルを定義するための比較関数 ρ = λ(1 + ||z||²) を用いる。
• 正則化されたポテンシャルの ddᶜ を用いて、ブ lows-up 上に新しいケーラー形式 ω₁ を定義し、B_r の近傍で σ*ω₁ = ddᶜρ が成り立つように保証する。
• ∂B_r のより小さな近傍で ω₁ を、π*ω₁ の正則化されたポテンシャルを引き戻すことにより変形し、∂B_r 近傍での振る舞いが制御された新しい形式 ω₂ を得る。
• ω₂ が ∂B_r 近傍で π*ω₂ = c₁ddᶜρ + c₂ かつ ω₂ = ω₁ がより大きなコンパクト部分集合で成り立つように保証し、共形構造を維持する。
• 重なり合う近傍 U, V で (σ∘π)*ω₂|_U = (1/c₁)ω₂|_V を満たす共形性を用いて共形的接合を行い、カトウ面 S 上にグローバルに定義された lcK 計量が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のカトウ面が、その位相的・複素構造にかかわらず、局所的に共形的ケーラー計量をもつのか？
• RQ2 安定性定理に依存せず、このような計量の存在を構成的に証明できるのか？
• RQ3 カトウ面のユニバーサル被覆はケーラー的であるか？ そして、これはベース面上の lcK 計量の存在から従うのか？
• RQ4 この構成はカトウ面の族へと拡張可能であり、一様な族の lcK 計量が得られるのか？
• RQ5 この構成が成立する半径の集合 I(S) ⊂ (0,1) の構造はいかなるものか？

主な発見

• すべてのカトウ面が局所的に共形的ケーラー計量をもつことが確認され、予想が裏付けられ、先行研究が完全化された。
• 任意のカトウ面のユニバーサル被覆は、ベース面上の lcK 計量の存在から帰結してケーラー的である。
• この構成により、単位球のブ lows-up 上に、デック変換の下で共形に変換するケーラー形式が得られ、写像 σ∘π を通じて実現される。
• 接合条件における共形因子 c₁ は任意に大きくとれるため、I(S) が 0 を含むある ε > 0 に対して (0,ε) の区間を含むことが示された。
• この方法はカトウ面の族へと拡張可能であり、パrameterディスク上の一様な族の lcK 計量が得られるが、必ずしも先行研究の完全な安定性結果までは得られない。
• 主な技術的革新は、擬上膜関数の正則化と、特異点近傍での振る舞いを制御するための比較関数の使用にある。