[論文レビュー] Locally Convex Valued Rectangular Metric Spaces and The Kannan's Fixed Point Theorem

Thabet Abdeljawad, Duran Türkoğlu|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2011

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、錐の正規性仮定を必要とせずに、長方形TVS-錐距離空間を導入し、その設定においてカナンの不動点定理を確立する。2つの証明を提供する：直接的手法と非線形スカラライゼーションを用いた新規アプローチ。これは、錐距離空間および長方形距離空間における先行研究を一般化する。

ABSTRACT

Rectangular TVS-cone metric spaces are introduced and Kannan's fixed point theorem is proved in these spaces. Two approaches are followed for the proof. At first we prove the theorem by a direct method using the structure of the space itself. Secondly, we use the nonlinear scalarization used recently by Wei-Shih Du in [A note on cone metric fixed point theory and its equivalence, {Nonlinear Analysis},72(5),2259-2261 (2010).] to prove the equivalence of the Banach contraction principle in cone metric spaces and usual metric spaces. The proof is done without any normality assumption on the cone of the locally convex topological vector space, and hence generalizing several previously obtained results.

研究の動機と目的

• 長方形TVS-錐距離空間の概念を、錐距離空間および長方形距離空間の一般化として導入・形式化すること。
• 錐の正規性を仮定せずに、長方形TVS-錐距離空間においてカナンの不動点定理を確立すること。
• 不動点結果の2つの別個の証明を提供すること：1つは空間の構造を直接用いるもの、もう1つは非線形スカラライゼーションを用いるもの。
• 従来の錐距離空間および長方形距離空間における結果（古典的カナンの定理を含む）を一般化すること。
• スカラライゼーションを用いて、長方形TVS-錐距離空間における不動点定理と長方形距離空間における不動点定理の同等性を示すこと。

提案手法

• 長方形不等式条件を追加することで、TVS-錐距離空間を拡張して長方形TVS-錐距離空間を定義する。
• ベクトル値距離を実数値距離へ写像する非線形スカラライゼーション関数 $\xi_e(y) = \inf\{t \in \mathbb{R} : y \in te - P\}$ を用いる。
• 合成写像 $d_p = \xi_e \circ p$ が $X$ 上で長方形距離を定めることを証明し、R-TVS-CMS と R-MS の間の関係を確立する。
• 得られた長方形距離空間 $(X, d_p)$ においてカナンの不動点定理を適用することで、元の空間における不動点の存在を示す。
• $\xi_e$ の連続性および正homogeneityと劣加法性の性質を用いて、収束性およびコーシー列を保存することを保証する。
• スカラライゼーション関数を介して、R-TVS-CMS における収束性およびコーシー列と、誘導された長方形距離空間におけるそれらの同等性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 錐の正規性を仮定せずに、カナンの不動点定理を長方形TVS-錐距離空間へ拡張することは可能か？
• RQ2 非線形スカラライゼーション関数 $\xi_e$ は、ベクトル値距離空間から実数値距離空間への不動点結果の移行をどのように促進するか？
• RQ3 長方形TVS-錐距離空間における収束性およびコーシー列と、そのスカラライズド長方形距離空間におけるそれらの関係は何か？
• RQ4 直接的証明法は、スカラライゼーションに基づく証明と比べて、複雑さおよび一般性においてどのように比較されるか？
• RQ5 この新しい枠組みは、錐距離空間および長方形距離空間における従来の結果をどの程度一般化するか？

主な発見

• 本稿では、錐が正規でない場合を含め、長方形TVS-錐距離空間においてカナンの不動点定理を確立した。
• 非線形スカラライゼーション関数 $\xi_e$ は、$X$ 上に長方形距離 $d_p = \xi_e \circ p$ を誘導し、ベクトル値問題を標準的な距離空間問題に変換する。
• R-TVS-CMS における収束性およびコーシー列は、補題3.2を用いて、誘導された長方形距離空間 $(X, d_p)$ におけるそれらと同等であることが示された。
• スカラライゼーションによる証明は、R-TVS-CMS における不動点結果を、標準的な長方形距離空間におけるカナンの定理に還元し、議論を簡略化した。
• 直接的証明法では、$d(T^n x, T^{n+m} x) \leq \frac{r^n}{1 - r} d(x, Tx)$ を満たすコーシー列 $\{T^n x\}$ を構成し、軌道的完備性により収束することを示した。
• 不動点は一意的であり、収束を導く収縮不等式が成立するための条件 $\beta < \frac{1}{2}$ を満たす限り、証明は有効である。