[論文レビュー] Locally Decodable/Correctable Codes for Insertions and Deletions

Block, Alexander R., Blocki, Jeremiah+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2019

DNA and Biological Computing参考文献 35被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、挿入・削除誤り（insdel）のリストデコーディング理論を進展させ、ランダムinsdel符号のリストデコーダビリティを分析し、効率的なデコーディングを可能にする明示的q進insdel符号を構築する。ランダムinsdel符号が挿入の数が削除の数を上回り、かつ大きなアルファベットが使用される場合、Singleton境界を超えることができることを示し、小さなアルファベットに対してはZyablov型の境界を確立することで、小規模なq（特に2進符号を含む）においても、従来のJohnson型境界を超える効率的なリストデコーディングが可能になる。

ABSTRACT

Insdel errors occur in communication systems caused by the loss of positional information of the message. Since the work by Guruswami and Wang, there have been some further investigations on the list decoding of insertion codes, deletion codes and insdel codes. However, unlike classical Hamming metric or even rank-metric, there are still many unsolved problems on list decoding of insdel codes. The contributions of this paper mainly consist of two parts. Firstly, we analyze the list decodability of random insdel codes. We show that list decoding of random insdel codes surpasses the Singleton bound when there are more insertion errors than deletion errors and the alphabet size is sufficiently large. Furthermore, our results reveal the existence of an insdel code that can be list decoded against insdel errors beyond its minimum insdel distance while still having polynomial list size. This provides a more complete picture on the list decodability of insdel codes when both insertion and deletion errors happen. Secondly, we construct a family of explicit insdel codes with efficient list decoding algorithm. As a result, we derive a Zyablov-type bound for insdel errors. Recently, after our results appeared, Guruswami et al. provided a complete solution for another open problem on list decoding of insdel codes. In contrast to the problems we considered, they provided a region containing all possible insertion and deletion errors that are still list decodable by some q-ary insdel codes of non-zero rate. More specifically, for a fixed number of insertion and deletion errors, while our paper focuses on maximizing the rate of a code that is list decodable against that amount of insertion and deletion errors, Guruswami et al. focuses on finding out the existence of a code with asymptotically non-zero rate which is list decodable against this amount of insertion and deletion errors.

研究の動機と目的

• 挿入と削除の両方が発生する場合における、ランダムinsdel符号のリストデコーダビリティを理解すること。
• 特にq=2を含む小さなアルファベットサイズにおける、効率的なリストデコーディングアルゴリズムを備えた明示的insdel符号を構築すること。
• 従来のJohnson型境界を超える、insdel符号におけるZyablov型境界を導出すること。
• 挿入と削除が非対称な場合に特に顕著な、insdel距離におけるリストデコーダビリティのより包括的な理解を提供すること。

提案手法

• 特定の組合せ的境界を用いてinsdel球のサイズを分析し、ランダム符号のリストデコーダビリティを推定する。
• 外側にリスト復元可能な符号を、内側にinsdel符号を用いた連結符号を構築し、注意深く設計されたインデキシング方式を採用する。
• 高いレートと制御されたリストサイズを実現するため、折りたたみ型Reed-Solomon符号を外符号として用いる。
• 計算複雑性を低減するために、確率的インデキシング方式を採用し、効率的なリストデコーディングを実現する。
• 連結構成におけるレートと誤り率のトレードオフを最適化することで、Zyablov型境界を導出する。
• 修正されたJohnson型境界の分析を適用し、小規模なqにおける古典的Johnson境界を超えるリストデコーダビリティを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムinsdel符号は、Singleton境界を超えるリストデコーダビリティを達成可能であり、どのような条件下で達成されるか？
• RQ2 q=2のような小さなアルファベットサイズに対し、効率的なリストデコーディングを備えた明示的insdel符号を構築するための構成的技法は存在するか？
• RQ3 特に挿入と削除が非対称な場合に、明示的insdel符号が達成可能な最大のリストデコーディング半径は、レートと誤り率の観点からどのように表されるか？
• RQ4 ランダムinsdel符号のリストデコーダビリティは、ハミング距離やランク距離などの他の距離計測におけるランダム符号と比べてどのように異なるか？
• RQ5 従来のJohnson型境界を超える、insdel符号におけるZyablov型境界を確立できるか？

主な発見

• 挿入の数が削除の数を上回り、かつアルファベットサイズが十分に大きい場合、ランダムinsdel符号はリストデコーダビリティにおいてSingleton境界を超えることができる。
• ランダムinsdel符号のリストデコーダビリティは、最小insdel距離を超過するリストデコーディングが可能な符号の存在を示しており、これはハミング距離やランク距離符号では観察されない現象である。
• 削除誤りのみを含む2進符号の場合、リストデコーディング半径はGuruswamiとWang [13] の結果と一致し、先行研究と整合していることを確認した。
• 構築された明示的q進insdel符号は、Johnson型境界を超えるリストデコーディング半径を達成しており、特に小規模なq（2進符号を含む）において、従来の構成よりも顕著に改善されている。
• 小さなアルファベットにおけるinsdel符号に対してZyablov型境界を確立した。これは、レートRの符号が、任意のϵ>0に対して、リストサイズNO(1/ϵ)でτN誤りをリストデコーディング可能であることを示している。
• デコーディングアルゴリズムは多項式時間で実行可能であり、q=2に対しても有効である。2進insdel符号に対して非自明なリストデコーディング半径を持つ、初めてのこのような明示的構成である。