[論文レビュー] Locally homogeneous triples. Extension theorems for parallel sections and parallel bundle isomorphisms

Arash Bazdar|arXiv (Cornell University)|May 2, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、リーマン多様体、主 bundle、接続からなる局所的に同一な三つ組みの分類定理を確立する。この問題は、普遍被覆上の全空間的同一な幾何構造の分類に還元される。主な貢献は、水平持ち上げを介した平行 bundle 同型写像の特徴付けと、bundle 同型写像と関連する bundle の平行切断の間の全単射対応であり、この対応により、リーマン面上のこのような構造のモジュライ空間の構成が可能になる。

ABSTRACT

Let $M$ be a differentiable manifold and $K$ a Lie group. A locally homogeneous triple with structure group $K$ on $M$ is a triple $(g, P\\stackrel{p}{\ o} M,A)$, where $p:P\ o M$ is a principal $K$-bundle on $M$, $g$ is Riemannian metric on $M$, and $A$ is connection on $P$ such that the following locally homogeneity condition is satisfied: for every two points $x$, $x'\\in M$ there exists an isometry $\\varphi:U\ o U'$ between open neighborhoods $U\ i x$, $U'\ i x'$ with $\\varphi(x)=x'$, and a $\\varphi$-covering bundle isomorphism $\\Phi:P_U\ o P_{U'}$ such that $\\Phi^*(A_{U'})=A_U$. If $(g,P\\stackrel{p}{\ o} M,A)$ is a locally homogeneous triple on $M$, one can endow the total space $P$ with a locally homogeneous Riemannian metric such that $p$ becomes a Riemannian submersion and $K$ acts by isometries. Therefore the classification of locally homogeneous triples on a given manifold $M$ is an important problem: it gives an interesting class of geometric manifolds which are fibre bundles over $M$. In this article we will prove a classification theorem for locally homogeneous triples. We will use this result in a future article in order to describe explicitly moduli spaces of locally homogeneous triples on Riemann surfaces.

研究の動機と目的

• 多様体 M 上の局所的に同一な三つ組みを分類すること。これは、局所的に同一なリーマン計量や接続を一般化する。
• 多様体 M 上の局所的に同一な幾何構造の分類を、その普遍被覆上の全空間的同一な構造の分類に還元すること。
• 局所的に同一な三つ組みの文脈において、平行切断および平行 bundle 同型写像の拡張定理を確立すること。
• リーマン面上の構造群 SU(2) および PU(2) を持つこのような三つ組みのモジュライ空間を明示的に記述する基盤を提供すること。

提案手法

• 多様体 M の普遍被覆 ˜M を用いて、局所的に同一な三つ組みを全空間的同一な構造に持ち上げる。
• 主 bundle K の全空間 P にリーマン計量を構成し、射影 p:P→M が K の等長作用を伴うリーマン部分被覆となるようにする。
• K×K-不変写像を介して、bundle 同型写像と関連 bundle I(P,P′) の切断の間の対応を適用し、平行切断を特徴付ける。
• 接続を保存する同型写像と、積接続 Γ^{A×A′} に関して平行な切断を結ぶ全単射対応 S:Hom_id(P,P′)→Γ(M,I(P,P′)) を確立する。
• bundle 同型写像 Φ が Φ*(A′)=A を満たすことは、対応する切断 σ^Φ が I(P,P′) 上の接続 Γ^{A×A′} に関して平行であることと同値であることを証明する。
• Φ の微分が水平部分空間を水平部分空間に写すことと、σ^Φ の微分が P×_M P′ の水平分布上で 0 であることとは同値であることを用いて、Φ が接続 A′ を保存するための条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体 M 上の局所的に同一な三つ組みは、その普遍被覆の幾何構造を用いてどのように分類できるか？
• RQ2 局所的に同一な構造の文脈において、主 bundle 間の bundle 同型写像が接続を保存するための条件は何か？
• RQ3 関連 bundle I(P,P′) の平行切断は、接続を保存する bundle 同型写像をどのように特徴付けるか？
• RQ4 主 bundle 同型写像と関連 bundle I(P,P′) の切断との間の正確な対応は何か？
• RQ5 平行切断および同型写像の拡張定理は、局所的に同一な三つ組みのモジュライ空間の構成をどのように可能にするか？

主な発見

• 多様体 M 上の局所的に同一な三つ組み (g,P→M,A) は、全空間 P 上の全空間的同一なリーマン計量に持ち上がり、p はリーマン部分被覆となり、K は等長変換の群となる。
• 恒等被覆 K-bundle 同型写像の空間と、関連 bundle I(P,P′) の切断の空間との間に自然な全単射が存在する。
• bundle 同型写像 Φ が Φ*(A′)=A を満たすことは、対応する切断 σ^Φ が I(P,P′) 上の接続 Γ^{A×A′} に関して平行であることと同値である。
• Φ の微分が水平部分空間を水平部分空間に写すことと、σ^Φ の微分が P×_M P′ の水平分布上で 0 であることとは同値である。
• σ^Φ_*|_H = 0 であることは、Φ が接続 A′ を保存するための必要十分条件である。
• この理論により、普遍被覆 ˜M 上の G-不変構造と適合する被覆群作用を備えた構造の分類に還元することで、局所的に同一な三つ組みの体系的分類が可能になる。