[論文レビュー] Locally Indistinguishable Subspaces Spanned by Three-Qubit Unextendible Product Bases

Runyao Duan, Yu Xin+1 more|ArXiv.org|Aug 27, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、3-qubitの拡張不能な積状態基底（UPB）によって張られる部分空間の任意の正規直交基底が、LOCCのもとで局所的に区別不能であることを確立し、次元4の局所的に区別不能な部分空間の存在を証明した。さらに、次元3および5のそのような部分空間の明示的例を構成し、3-qubit系における局所的区別不能性の最小次元が3であることを示した。

ABSTRACT

We study the local distinguishability of general multi-qubit states and show that local projective measurements and classical communication are as powerful as the most general local measurements and classical communication. Remarkably, this indicates that the local distinguishability of multi-qubit states can be decided efficiently. Another useful consequence is that a set of orthogonal $n$-qubit states is locally distinguishable only if the summation of their orthogonal Schmidt numbers is less than the total dimension $2^n$. When $n=2$ such a condition is also sufficient. Employing these results, we show that any orthonormal basis of a subspace spanned by arbitrary three-qubit orthogonal unextendible product bases (UPB) cannot be exactly distinguishable by local operations and classical communication. This not only reveals another intrinsic property of three-qubit orthogonal UPB, but also provides a class of locally indistinguishable subspaces with dimension 4. We also explicitly construct locally indistinguishable subspaces with dimensions 3 and 5, respectively. In particular, 3 is the minimal possible dimension of locally indistinguishable subspaces. Combining with the previous results, we conclude that any positive integer between 3 and 7 is the possible dimension of some three-qubit locally indistinguishable subspace.

研究の動機と目的

• 三量子ビット系における局所的に区別不能な部分空間の最小次元を特定すること。
• 正規直交な拡張不能な積状態基底（UPB）によって張られる部分空間が、LOCCのもとで必ずしも局所的に区別不能であるかどうかを調査すること。
• 次元3, 4, 5の局所的に区別不能な部分空間の明示的例を構成すること。
• 多量子ビット状態の局所的区別可能性を決定するのにおける直交スレーディング数の和の役割を調査すること。
• 三量子ビット状態空間が、2つの直交的で、拡張不能で、エンタングルされた部分空間に分解可能であり、それにより新たなクラスの局所的に区別不能な混合状態が得られることを示すこと。

提案手法

• スレーディング数の和の基準を活用する：正規直交なn-量子ビット状態の集合は、それらの直交スレーディング数の和が ≤ 2^n である場合にのみ、局所的に区別可能である。
• この基準を3-qubit UPBによって張られる部分空間に適用し、スレーディング数の和が次元の閾値を超える場合、そのような部分空間は局所的に区別不能であることを示した。
• 一意な積状態をもつ5次元部分空間を構成し、スレーディング数の和の議論により局所的区別不能性を証明した。
• 明示的な状態ベクトルの構成を用いて正規直交性および局所的区別不能性を検証し、一意な積状態の代数的検証も行った。
• アリス、ボブ、チャールズの各参加者が行う局所的射影測定の結果を分析し、LOCCによる区別可能性を除外した。
• 三量子ビット状態空間が、2つの直交的で、エンタングルされ、拡張不能な部分空間に分解可能であり、それにより新たなクラスの局所的に区別不能な混合状態が得られることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三量子ビット系における局所的に区別不能な部分空間の最小次元は何か？
• RQ2 正規直交な拡張不能な積状態基底（UPB）によって張られる部分空間は、LOCCのもとで必然的に局所的に区別不能であるか？
• RQ3 三量子ビット系に次元5の局所的に区別不能な部分空間が存在するか？もし存在するならば、どのように構成できるか？
• RQ4 直交スレーディング数の和が、多量子ビット状態の局所的区別可能性を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 三量子ビット状態空間は、2つの直交的で、拡張不能で、エンタングルされた部分空間に分解可能か？その場合、局所的区別可能性にどのような影響があるか？

主な発見

• 三量子ビット系における局所的に区別不能な部分空間の最小次元は3であり、そのような部分空間は存在する。
• 3-qubitの正規直交UPBによって張られる任意の部分空間は、LOCCのもとで局所的に区別不能であり、次元4の新たなクラスのそのような部分空間を確立した。
• 正確に1つの積状態をもつ5次元の三量子ビット部分空間を明示的に構成し、スレーディング数の和の基準を用いてその局所的区別不能性を証明した。
• 局所的に区別可能な部分空間の正規直交基底の直交スレーディング数の和は、8（2^3）を超えることはできず、この上限はタイトである。
• 三量子ビット状態空間は、2つの直交的で、拡張不能で、エンタングルされた部分空間に分解可能であり、それにより直交する混合状態のペアが得られ、それらは確率的にでさえ局所的に区別不能である。
• 局所的射影測定と古典的通信は、多量子ビット状態の局所的区別可能性を決定するのに十分であり、問題が効率的に決定可能であることを示唆している。