[論文レビュー] Locally inertial coordinates with totally antisymmetric torsion

M. Socolovsky|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2010

Advanced Differential Geometry Research参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、時空の一点において完全反対称ねじれを持つ場合、等価原理が成り立つための必要十分条件は、接続の対称部が消えることであることを示している。これはねじれがゼロでなくても局所的慣性座標が構築可能であることを意味する。測地線ずれ方程式とニュートン極限が導出され、弱い場の領域では標準的な重力理論と整合することが確認された。

ABSTRACT

We show that the necessary and sufficient condition for erecting locally inertial coordinates at a point $p$ of a $U^4$-space, and therefore assuring the validity of the equivalence principle at that point, is the vanishing at $p$ of the symmetric part of the contortion tensor. This fact does not demand a vanishing torsion, but only a totally antisymmetric one. As an application, we derive the geodesic deviation equation; and prove the compatibility with the Newtonian limit.

研究の動機と目的

• ねじれを伴う時空における局所的慣性座標の存在のための必要十分条件を確立すること。
• ねじれが非ゼロであるが完全反対称である場合に、等価原理が依然として有効であるかどうかを調査すること。
• 完全反対称ねじれを持つリーマン＝カルタン時空における測地線ずれ方程式を導出すること。
• 完全反対称ねじれが測地運動のニュートン極限と整合することを検証すること。
• ねじれテンソルの対称部がねじれ座標系を定義する上で果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 接続の対称部を消去する座標変換を導出し、接続の対称部のみに依存する。
• 計量の適合性条件とテンソルの変換則を用いて、ねじれテンソルの対称部が消えるならば、時空の一点で計量の一次微分がゼロになることを示した。
• 測地線方程式に寄与するのは接続の対称部のみであるという事実を用い、ねじれが非ゼロでも完全反対称のままに保てるようにした。
• 完全反対称ねじれを持つU⁴空間における測地線ずれ方程式を導出し、加速度の曲率寄与とねじれ寄与に分離した。
• 静的で弱い重力場における測地線方程式の弱場展開を実行し、ニュートン極限を分析した。
• 時間反転不変性とミンコフスキー計量の小さな摂動を課し、ねじれ成分に制約を課した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全反対称ねじれを持つ時空における局所的慣性座標の存在のための必要十分条件は何か？
• RQ2 ねじれテンソルの対称部が消えるが、ねじれが非ゼロである場合に測地線方程式はどのように振る舞うか？
• RQ3 完全反対称ねじれを持つリーマン＝カルタン時空において、測地線ずれ方程式を一貫して導出できるか？
• RQ4 完全反対称ねじれは一般相対性理論のニュートン極限と整合するか？
• RQ5 ニュートン極限はねじれテンソルの成分にどのような制約を課えるか？

主な発見

• 局所的慣性座標が存在するための必要十分条件は、ねじれテンソルの対称部が消えることであり、ねじれ自体がゼロである必要はない。
• 完全反対称ねじれテンソルは、測地線を支配する接続の対称部がゼロになる可能性を保つため、局所的慣性フレームの存在と整合する。
• 完全反対称ねじれを持つU⁴空間における測地線ずれ方程式は、曲率寄与とねじれ寄与に分離され、ねじれ寄与は $ A^{ u}_{T} = 2g^{ ueta}T^{ ho}(S^{ heta}T_{ ho hetaeta})_{; ho}T^{ ho} $ で与えられる。
• ニュートン極限では、物理的でない力が生じないために $ T^{0}_{k0} = 0 $（$ k=1,2,3 $）の条件が必要であり、これは完全反対称ねじれテンソルと整合する。
• ニュートン極限では $ rac{d^2oldsymbol{x}}{dt^2} = - abla ilde{ ho} + oldsymbol{H}oldsymbol{T} $ が得られ、一貫性があるためには $ oldsymbol{T} = 0 $ でなければならないか、$ oldsymbol{H} $ が特異である必要があるが、摂動論によりこれは除外される。
• 4次元における完全反対称ねじれテンソルの独立成分は $ T_{120}, T_{230}, T_{310}, T_{231} $ であり、これらが測地線ずれに及ぼすねじれ寄与を完全に決定する。