[論文レビュー] Locally Lagrangian Symplectic and Poisson Manifolds

Izu Vaisman|ArXiv.org|Aug 14, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、局所的ラグランジュ関数を用いて、局所的にラグランジュ的シンプレクティック（l.L.s.）およびポisson（l.L.P.）多様体を定義し、ラグランジュ力学のシンプレクティック構造を、グローバルかつ可能なかつてコンパクトな多様体へ一般化する。l.L.s.多様体は、接空間構造Sを用いた座標に依存しない特徴付けがなされ、l.L.P.多様体のシンプレクティックな葉は、局所的にラグランジュ的シンプレクティック構造を引き継ぐ。応用例として接バンドルおよび接バンドルのファイバー積が挙げられる。

ABSTRACT

We discuss symplectic manifolds where, locally, the structure is that encountered in Lagrangian dynamics. Exemples and characteristic properties are given. Then, we refer to the computation of the Maslov classes of a Lagrangian submanifold. Finally, we indicate the generalization of this type of structures to Poisson manifolds.

研究の動機と目的

• 接バンドル上のグローバルなラグランジュ的シンプレクティック構造の一般化として、局所的ラグランジュ的シンプレクティック（l.L.s.）多様体を定義し、特徴づけること。
• 接空間構造Sと整合する局所的ラグランジュ的ポアソン（l.L.P.）構造を導入することで、フレームワークをポアソン多様体へ拡張すること。
• l.L.P.多様体のシンプレクティックな葉が、自身で局所的ラグランジュ的シンプレクティック多様体であることを示すこと。
• すべてのベクトル場X,Yに対してω(X,SY) = ω(Y,SX)を満たす条件を用いて、l.L.s.多様体の座標に依存しない特徴付けを与えること。
• 特にT^{(2)}Nにおいて、グローバルにラグランジュ的ポアソン（g.L.P.）構造が存在するかを調査すること。

提案手法

• 局所的ラグランジュ的シンプレクティック多様体を、接空間構造Sとシンプレクティック形式ωを備えた多様体Mとして定義し、局所的にω = d(θ_L)と表され、θ_L = dL∘Sを満たす局所的ラグランジュ関数Lが存在することを要件とする。
• 接空間構造Sの可積分性を保証するため、ニエンハイウステンソル条件N_S = 0を用い、垂直foliation V = im S = ker Sを定義する。
• すべてのX,Y ∈ Γ(TM)に対してω(X,SY) = ω(Y,SX)を満たす条件により、l.L.s.多様体を特徴づけ、垂直分布がωに関してラグランジュ的であることを保証する。
• R^{2n}をZ^n × Z^n作用で商取ることで得られる商空間、例えばトーラスT^{2n}を用いて例を構成し、グローバルラグランジュ関数からコンパクトなl.L.s.多様体を得る。
• SとポアソンテンソルPの整合性を要件とすることで、ポアソン構造への一般化を図り、(4.1)–(4.4)の条件、特にP(dq^i, du^j) = P(dq^j, du^i)を導出する。
• PがP = P^{ij} ∂/∂q^i ∧ ∂/∂u^j + 1/2 A^{ij} ∂/∂u^i ∧ ∂/∂u^jの形で、P^{ij}が対称でA^{ij}が反対称であるとき、M = TN ×_f TNはl.L.P.構造を有する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック多様体Mが、接バンドル上のラグランジュ力学のシンプレクティック構造に局所的にモデル化されるために満たすべき条件は何か？
• RQ2 非正確なシンプレクティック形式を伴うコンパクト多様体上でも、グローバルにラグランジュ的シンプレクティック構造をどのように一般化できるか？
• RQ3 接空間構造Sは、局所的ラグランジュ的シンプレクティック多様体を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ4 接空間構造Sと整合するとき、ポアソン多様体のシンプレクティックな葉はどのようにして局所的ラグランジュ的シンプレクティック構造を引き継ぐか？
• RQ5 接バンドルTN上のポアソンテンソル場Pが、グローバルにラグランジュ的ポアソン構造を誘導するための条件は何か？

主な発見

• シンプレクティック多様体Mが局所的ラグランジュ的であるための必要十分条件は、すべてのベクトル場X,Yに対してω(X,SY) = ω(Y,SX)が成り立つことである。この条件により、Sによって定義される垂直foliationがωに関してラグランジュ的であることが保証される。
• 局所的ラグランジュ的ポアソン多様体のシンプレクティックな葉は、自身で局所的ラグランジュ的シンプレクティック多様体であり、周囲のポアソン構造からその構造を引き継ぐ。
• コンパクトな局所的ラグランジュ的シンプレクティック多様体の例として、トーラスT^{2n}が挙げられる。これはR^{2n}を格子作用で商取ることで得られ、ラグランジュ関数は閉1形式および関数の平行移動に対して変換する。
• PがP = P^{ij} ∂/∂q^i ∧ ∂/∂u^j + 1/2 A^{ij} ∂/∂u^i ∧ ∂/∂u^jの形で、P^{ij}が対称でA^{ij}が反対称であるとき、M = TN ×_f TNは局所的ラグランジュ的ポアソン構造を有する。
• M = TN ×_f TN上のポアソン構造の各葉におけるシンプレクティック構造は、Λ_{ij}(x) dz^i ∧ dy^jとしてグローバルに与えられ、グローバルラグランジュ関数L = Λ_{ij}(x) z^i y^jを有する。このとき(M,P,S)はグローバルにラグランジュ的ポアソン多様体である。
• TN上では、ポアソンテンソルPが、すべてのf,gに対してP(df,dg)=0（ゼロ関係）を満たし、さらにP(dq^i,du^j) = P(dq^j,du^i)を満たす場合に限り、l.L.P.構造が誘導される。これにより(4.14)の形が得られ、ランク条件rank P = 2 rank(P^{ij})が成立する。