[論文レビュー] Locally Lipschitz Functions and Bornological Derivatives

Jonathan M. Borwein, Marián Fabian+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 1993

Advanced Banach Space Theory参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間における局所リプシッツおよび凸関数について、Gateaux微分可能性、弱ハダムール微分可能性、フレシェ微分可能性の間の関係を調査し、その生来的性質に注目する。主な結果は、フレシェ微分可能性と弱ハダムール微分可能性がすべてのリプシッツ関数に対して一致するための必要十分条件が、基礎となるバナッハ空間が反射的であることである。

ABSTRACT

We study the relationships between Gateaux, weak Hadamard and Frechet differentiability and their bornologies for Lipschitz and for convex functions. In particular, Frechet and weak Hadamard differentiabily coincide for all Lipschitz functions if and only if the space is reflexive (an earlier paper of the first two authors shows that these two notions of differentiability coincide for continuous convex functions if and only if the space does not contain a copy of $\ell_1$). We also examine when Gateaux and weak Hadamard differentiability coincide for continuous convex functions. For instance, spaces with the Dunford-Pettis (Schur) property can be characterized by the coincidence of Gateaux and weak Hadamard (Frechet) differentiabilty for dual norms.

研究の動機と目的

• 局所リプシッツおよび凸関数について、ゲートックス微分可能性、弱ハダムール微分可能性、フレシェ微分可能性の相互作用を明確化すること。
• バナッハ空間における微分可能性概念の一致に必要な生来的条件を調査すること。
• すべてのリプシッツ関数についてフレシェ微分可能性と弱ハダムール微分可能性が一致するバナッハ空間を特徴付けること。
• 連続凸関数について、ゲートックス微分可能性と弱ハダムール微分可能性が一致する条件を検討すること。
• バナッハ空間の幾何的性質（例えば、ダンフォード＝ペティス性やシュール性）と双対ノルムの微分可能性挙動との関連を明らかにすること。

提案手法

• バナッハ空間上の局所リプシッツおよび凸関数の文脈において、ゲートックス、弱ハダムール、フレシェ微分可能性の概念を分析する。
• 生来的技法を用いて、さまざまな位相的および幾何的条件下での微分可能性概念の挙動を比較する。
• 双対性および幾何的関数解析を用いて、微分可能性の性質とバナッハ空間の構造的特徴との関連を明らかにする。
• ℓ¹-列の存在がなく、反射的であるという既知の結果を用いて、微分可能性の一致の特徴づけを導出する。
• 双対ノルムのケースを検討し、シュール性またはダンフォード＝ペティス性がゲートックス微分可能性と弱ハダムール微分可能性の同値性とどのように関連するかを分析する。
• 特に非反射的および反射的空間における微分可能性に関する、関数解析の基礎的結果に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間上のすべてのリプシッツ関数について、フレシェ微分可能性と弱ハダムール微分可能性が一致する条件は何か？
• RQ2 連続凸関数について、ゲートックス微分可能性と弱ハダムール微分可能性が一致するのはいつか？
• RQ3 バナッハ空間のダンフォード＝ペティス性またはシュール性は、双対ノルムの微分可能性概念の一致とどのように関連するか？
• RQ4 どのような幾何的または構造的性質が、リプシッツ関数について弱ハダムール微分可能性がフレシェ微分可能性を含むことを保証するか？
• RQ5 どのバナッハ空間において、凸関数の生来的微分係数が一様微分可能性を示すか？

主な発見

• バナッハ空間上のすべてのリプシッツ関数について、フレシェ微分可能性と弱ハダムール微分可能性が一致するための必要十分条件は、その空間が反射的であることである。
• 連続凸関数について、フレシェ微分可能性と弱ハダムール微分可能性が一致するのは、その空間にℓ¹のコピーを含まないときである。
• ダンフォード＝ペティス（またはシュール）性質を有する空間は、双対ノルムについてゲートックス微分可能性と弱ハダムール微分可能性の同値性によって特徴づけられる。
• 連続凸関数について、ゲートックス微分可能性と弱ハダムール微分可能性が一致するのは、その空間にℓ¹に同相な部分空間を含まないときである。
• 生来的枠組みは、基礎となる空間の幾何的性質に基づいて、微分可能性の種類の違いと一致を的確に捉えている。
• これらの結果は、バナッハ空間の幾何的構造と凸関数およびリプシッツ関数の導関数の正則性との強い関連を確立している。