[論文レビュー] Locally potentially equivalent Galois representations

Vijay M. Patankar, C. S. Rajan|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、グローバル体上の2つの連続的・半単純な ℓ-進ガロア表現が、十分に大きな集合の場所で局所的に潜在的に同値であるならば、グローバルに潜在的に同値であることを確立している。具体的には、そのような場所の上付近密度が、それぞれの代数的モノドロミー群の連結成分の数に依存する閾値を超える場合に成立する。この結果はモジュラー形式に適用され、正の密度の素数において、特徴値の異なるべき乗が一致する2つの非CM新形式は、ディリクレ指標によるねじれであることが示される。

ABSTRACT

We show that if two continuous semi-simple \(\ell \)-adic Galois representations are locally potentially equivalent at a sufficiently large set of places then they are globaly potentially equivalent. We also prove an analogous result for arbitrarily varying powers of character values evaluated at the Frobenius conjugacy classes. In the context of modular forms, we prove: given two non-CM newforms $f$ and $g$ of weight at least two, such that $a_p(f)^{n_p}=a_p(g)^{n_p}$ on a set of primes of positive upper density and for some set of natural numbers $n_p$, then $f$ and $g$ are twists of each other by a Dirichlet character.

研究の動機と目的

• 局所的に潜在的に同値である場所の集合が十分に大きいという条件下で、ℓ-進ガロア表現のグローバルな潜在的同値性を確立すること。
• モジュラー形式における特徴値の一致に関する結果を、任意に変化する指数および正の上付近密度の素数集合へ一般化すること。
• チェボタレフ型密度定理を、再帰的代数的群におけるフロベニウス共轭類の変数乗への一般化すること。
• 正の密度の素数集合において、固有値のべき乗が一致する2つの非CM新形式が、ディリクレ指標によるねじれとして得られることを証明すること。

提案手法

• ガロア表現に関連する代数的モノドロミー群を用いて、局所的データからグローバル構造を分析する。
• 代数的チェボタレフ密度定理を適用し、フロベニウス共轭類とモノドロミー群内のザリスキ密度を関連付ける。
• コンパクト群のキャラクターの直交関係を用いて、表現の同値性を導出する。
• 有限拡大へのベースチェンジを用いて、問題を連結な代数的群に還元する。
• 商表現を構成し、フロベニウスのべき乗の像が全モノドロミー群を生成することを示す。
• 有限索引部分群への制限による潜在的同値性を適用し、連結成分上のキャラクターを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℓ-進ガロア表現について、局所的に潜在的に同値である場所の集合が十分に大きいとき、どのような条件下でグローバルに潜在的に同値になるか？
• RQ2 正の密度の素数において、任意に変化する指数での特徴値の一致が、グローバルなねじれ同値性を示唆できるか？
• RQ3 フロベニウス共轭類の変数乗が全代数的モノドロミー群を生成する場所の最小密度条件は何か？
• RQ4 チェボタレフ密度定理は、再帰的代数的群におけるフロベニウス要素のべき乗へどの程度一般化可能か？
• RQ5 正の密度の素数集合において、固有値のべき乗が一致する2つの非CM新形式は、いつねじれとして得られるか？

主な発見

• 2つの連続的・半単純な ℓ-進ガロア表現が、上付近密度がそれぞれ $ 1 - \frac{1}{c_1} $ および $ 1 - \frac{1}{c_2} $ を超える場所で局所的に潜在的に同値であるとき、ここで $ c_i $ は $ \rho_i $ の代数的モノドロミー群の連結成分の数であるならば、それらはグローバルに潜在的に同値である。
• 非CM新形式 $ f $ に対して、その関連する $ \ell $-進表現の代数的モノドロミー群は $ GL_2 $ であり、これは表現が絶対的単純的であり、連結なモノドロミー群を持つことを保証する。
• 2つの新形式 $ f $ と $ g $ が、正の上付近密度の素数集合において $ a_p(f)^{n_p} = a_p(g)^{n_p} $ を満たすならば、$ g $ は $ f $ のディリクレ指標によるねじれである。
• 正の上付近密度を持つ非分岐場所の集合 $ T $ において、$ \rho(\sigma_v)^{n_v} $ が生成する最小の代数的部分群は、$ G $ が連結であれば全代数的モノドロミー群 $ G $ に一致する。
• 証明は、$ G/G_T $ 上の商表現 $ \rho_1 $ がベースチェンジ後に自明になることを示すことにより、$ G/G_T = \{1\} $ すなわち $ G_T = G $ を強制する。
• 定数指数や全密度の仮定なしに結果が成立し、従来の密度1および定数指数を要件としていた結果を一般化する。