[論文レビュー] Locally precompact groups: (Local) realcompactness and connectedness

W. W. Comfort, Gábor Lukács|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 49被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Dieudonné完備性、実コンパクト性、連結性といった主要な位相的性質に基づいて、局所的precompactな位相群を分類し、アーベルな局所的precompact群が、かつてprecompactに生成されるとき、位相群の擬似成分（quasi-component）であることを確立している。中心的な結果は、このような群が局所的pseudocompact群の連結成分として現れる条件を、内在的な代数的・位相的条件によって特徴づけている。

ABSTRACT

A theorem of A. Weil asserts that a topological group embeds as a (dense) subgroup of a locally compact group if and only if it contains a non-empty precompact open set; such groups are called locally precompact. Within the class of locally precompact groups, the authors classify those groups with the following topological properties: Dieudonné completeness; local realcompactness; realcompactness; hereditary realcompactness; connectedness; local connectedness; zero-dimensionality. They also prove that an abelian locally precompact group occurs as the quasi-component of a topological group if and only if it is precompactly generated, that is, it is generated algebraically by a precompact subset.

研究の動機と目的

• 局所的precompactな位相群を、実コンパクト性、Dieudonné完備性、および遺伝的実コンパクト性といった位相的性質によって分類すること。
• 局所的precompact群が局所的連結性または連結性をもつための条件を、特にその完備化との関係で特徴づけること。
• アーベルな局所的precompact群が、より大きな位相群の擬似成分（または連結成分）として実現可能であるための条件を特定すること。
• 局所的pseudocompact群の文脈において、precompactに生成されたアーベル群の内在的（代数的・位相的）特徴づけを確立すること。
• 完備化および$G_\tau$-位相の技法を用いて、特異的自由かつ連結なprecompactなアーベル群に関する既知の結果を一般の場合に拡張すること。

提案手法

• 局所的precompact群$G$のWeil完備化$\tilde{G}$を用い、$G$の位相的性質とその完備化の性質との関係を関係づける。
• $G_\tau$-位相および$G_\tau$-稠密性を適用し、閉包およびコンパクト化の性質を用いて、Dieudonné完備性および実コンパクト性を特徴づける。
• Hewittの実コンパクト化$\nu X$およびStone-Čechコンパクト化$\beta X$を用い、位相群におけるpseudocompact性および$G_\tau$-稠密性を分析する。
• 群のファイバー積$G = \bbZ_p^{\rho \times \nu} \times_E C$を、ホモモーフィズム$\theta: \bbZ_p^{\rho \times \nu} \to E = C/A$を用いて構成し、$G$が$L = \bbZ_p^{\rho \times \nu} \times C$において$G_\tau$-稠密であることを保証する。
• $L_0 \to \bbZ_p^{\rho \times \nu} \times C$が連結成分を表し、$L_0 \bigcap G = \bbZ_p^{\rho \times \nu} \times A$であることを用いて、$A$を$G$の連結成分の部分群として回復する。
• [10]および[42]の局所的pseudocompact性および完備化に関する結果を適用し、$L$が局所的コンパクトであれば$G$は局所的pseudocompactであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの局所的precompact群がDieudonné完備であるか。そして、これを内在的にどのように特徴づけられるか。
• RQ2 局所的precompact群が局所的実コンパクトであるのはいつか。また、その完備化との関係は何か。
• RQ3 局所的precompact群が遺伝的実コンパクトであるための条件は何か。
• RQ4 局所的pseudocompact群が局所的連結であるのはいつか。また、その完備化の局所的連結性とどのように関係するか。
• RQ5 どのアーベルな局所的precompact群が位相群の擬似成分として現れるか。そして、そのための代数的条件は何か。

主な発見

• 局所的precompact群がDieudonné完備であるための必要十分条件は、そのWeil完備化$\tilde{G}$において$G_\tau$-閉であることであり、これは局所的実コンパクト性と同値である。
• 局所的precompact群が遺伝的実コンパクトであるための必要十分条件は、その完備化において$G_\tau$-閉であり、かつすべての閉部分群が実コンパクトであることである。
• 局所的pseudocompact群が局所的連結であるための必要十分条件は、その完備化が局所的連結であることである。これにより、局所的連結性と完備化の性質との強い関連が確立される。
• アーベルな局所的precompact群$A$が、局所的pseudocompact群の連結成分に位相的に同型であるための必要十分条件は、$A$がprecompactに生成されること、すなわち代数的にprecompactな部分集合によって生成されることである。
• もし$A$がprecompactかつアーベルであれば、$A \to (\tilde{G})_0 \bigcap G$が位相的同型となるような局所的pseudocompact群$G$が存在する。さらに、$A$がコンパクトであれば、$G$をpseudocompactに選べる。
• メトライズ可能な$A$に対しては、$w(G) = w(A)$を満たすような$G$は存在しない。ただし、$A$がすでに局所的コンパクトかつ連結である場合に限る。反例として$A = \bbQ$が示されている。