[論文レビュー] Locally Repairable Codes with Multiple $(r_{i}, \\delta_{i})$-Localities

Bin Chen, Shu‐Tao Xia+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2017

Advanced Data Storage Technologies参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、分散ストレージシステムにおけるホットデータの効率的リペアを向上させるために、複数の$(r_i,\delta_i)$-局所性を有するローカルリカバリコード（LRCs）を導入する。$(r,\delta)$-局所性モデルを、異なる局所性をサポートするように一般化することで、最小距離に関するSingletonに類似した上限を導出し、リーマン・ソロモンコード上でのパリティ分割技術を用いて明示的かつ最適な構成を提示。これにより、リペア局所性と障害耐性の最適なトレードオフを達成する。

ABSTRACT

In distributed storage systems, locally repairable codes (LRCs) are introduced to realize low disk I/O and repair cost. In order to tolerate multiple node failures, the LRCs with \\emph{$(r, \\delta)$-locality} are further proposed. Since hot data is not uncommon in a distributed storage system, both Zeh \\emph{et al.} and Kadhe \\emph{et al.} focus on the LRCs with \\emph{multiple localities or unequal localities} (ML-LRCs) recently, which said that the localities among the code symbols can be different. ML-LRCs are attractive and useful in reducing repair cost for hot data. In this paper, we generalize the ML-LRCs to the $(r,\\delta)$-locality case of multiple node failures, and define an LRC with multiple $(r_{i}, \\delta_{i})_{i\\in [s]}$ localities ($s\\ge 2$), where $r_{1}\\leq r_{2}\\leq\\dots\\leq r_{s}$ and $\\delta_{1}\\geq\\delta_{2}\\geq\\dots\\geq\\delta_{s}\\geq2$. Such codes ensure that some hot data could be repaired more quickly and have better failure-tolerance in certain cases because of relatively smaller $r_{i}$ and larger $\\delta_{i}$. Then, we derive a Singleton-like upper bound on the minimum distance for the proposed LRCs by employing the regenerating-set technique. Finally, we obtain a class of explicit and structured constructions of optimal ML-LRCs, and further extend them to the cases of multiple $(r_{i}, \\delta)_{i\\in [s]}$ localities.

研究の動機と目的

• 分散ストレージシステムにおけるホットデータの効率的リペアを満たすために、変動するリペア局所性と障害耐性を可能にする。
• $(r,\delta)$-局所性モデルを、異なるコードシンボルに複数の異なる$(r_i,\delta_i)$-局所性をサポートするように一般化する。
• 複数の$(r_i,\delta_i)$-局所性を有するLRCsに対する最小距離のSingletonに類似した上限を導出する。
• リーマン・ソロモンコード上でのパリティ分割技術を用いて、複数の$(r_i,\delta_i)$-局所性を有する明示的かつ最適なLRCsを構成する。
• 既存の構成を、特に$r_1 < r_2 < \dots < r_s$および$\delta_1 > \delta_2 > \dots > \delta_s$となる$r_i$と$\delta_i$の値を変化させることに対応させる。

提案手法

• $r_1 \leq r_2 \leq \dots \leq r_s$および$\delta_1 \geq \delta_2 \geq \dots \geq \delta_s \geq 2$を満たす複数の$(r_i,\delta_i)$-局所性を有する新しいLRCモデルを提案。これにより、異なる効率性を持つ局所的リペアが可能となる。
• 再生集合技術を用いて最小距離に対するSingletonに類似した上限を導出し、ML-LRCsに対する既存の境界を一般化する。
• 参考文献[8]にインspiredされたパリティ分割技術を用いて、所望の局所性特性を有するリーマン・ソロモンコードの部分コードを構成する。
• 各局所性グループに対応するブロックに分割されたRSコードのパリティーチェック行列を用いて、パリティーチェック行列$H$を構築。これにより、各シンボルが$(r_i,\delta_i)$-局所性を有することを保証する。
• パrameterを設定することで最適性を保証し、$\frac{n_s}{r_s + \delta - 1} = \left\lceil \frac{k - \sum_{i\in[s-1]} r_i \frac{n_i}{r_i + \delta - 1}}{r_s} \right\rceil$を満たす。これは導出された境界と整合する。
• 得られたコードが次元$k$を有し、最小距離境界に達することを証明。これにより最適性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一のコード内で異なるコードシンボルに複数の異なる局所性$(r_i,\delta_i)$をサポートするように、$(r,\delta)$-局所性モデルをどのように一般化できるか？
• RQ2 複数の$(r_i,\delta_i)$-局所性を有するLRCsに対する最小距離の最もタイトな上限は何か？
• RQ3 既知のコード族を用いて、複数の$(r_i,\delta_i)$-局所性を有する明示的かつ構造的な最適LRCsを構成することは可能か？
• RQ4 提案された構成は、$r_i$と$\delta_i$の変動をサポートしながら、最適なリペア効率と障害耐性をどのように維持するか？
• RQ5 パラメータ$n_i, r_i, \delta_i$にどのような条件を課すと、構成されたコードが導出されたSingletonに類似した境界に達するか？

主な発見

• 複数の$(r_i,\delta_i)$-局所性を有するLRCsに対する最小距離の新しいSingletonに類似した上限が導出され、ML-LRCsに対する既存の境界を一般化する。
• この境界はタイトであり、最適構成の性能と一致し、理論的最適性を保証する。
• リーマン・ソロモンコード上でのパリティ分割技術を用いて、明示的かつ構造的な最適LRCsが構成され、$\text{dim}(\mathcal{C}) = k$を満たし、導出された距離境界に達する。
• $r_1 \leq r_2 \leq \dots \leq r_s$および$\delta_1 = \delta_2 = \dots = \delta_s = \delta$を満たす複数の局所性をサポートする。これによりホットデータの効率的リペアが可能となる。
• 条件$\frac{n_s}{r_s + \delta - 1} = \left\lceil \frac{k - \sum_{i\in[s-1]} r_i \frac{n_i}{r_i + \delta - 1}}{r_s} \right\rceil$を満たすことで最適性が保証され、最小距離が最大化される。
• $q > n$を満たすことで、必要なバーデンモンデ行列およびパリティーチェック構造の存在が保証され、構成が有効である。