[論文レビュー] (Locally) shortest arcs of special sub-Riemannian metric on the Lie group SO(3)

V. N. Berestovskiĭ, И. А. Зубарева|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、SO(3) 上の左不変な部分リーマン計量と、SO(2) に関する右不変性の下で、明示的な測地線、最短弧、直径、切断特異点集合、および共役集合を導出する。S² の単位接バンドルとガウス・ボンネの定理を用いた幾何的解釈により、すべての主要な幾何的対象をパラメトリックな公式で特徴付け、直径が π√3 であることを証明し、切断特異点集合は ℝP² ∪ ℝ に位相的に同相であり、共役集合は ℝ に微分同相であることを示す。

ABSTRACT

The authors find geodesics, shortest arcs, diameter, cut locus, and conjugate sets for left-invariant sub-Riemannian metric on the Lie group SO(3), under condition that the metric is right-invariant relative to the Lie subgroup $SO(2)\subset SO(3)$.

研究の動機と目的

• 左不変計量と SO(2) に関する右不変性を有する部分リーマン多様体 (SO(3), d) における最短弧および測地線の構造を特定すること。
• (SO(3), d) の直径を計算し、最短弧の最大長を同定すること。
• 左不変性と幾何的対称性を活用して、(SO(3), d) 内の切断特異点集合と共役集合を特徴付けること。
• 切断特異点集合および共役集合の位相的および微分的構造を確立し、それらの位相同相型および微分同相型を示すこと。
• ガウス・ボンネの定理と部分写像幾何学を用いて、測地線経路および臨界点の詳細な解析的導出式を提供すること。

提案手法

• SO(3) を単位接バンドル S²₁ と幾何的に同一視し、部分リーマン計量が S² 上のリーマン接続の水平分布として生じることを用いる。
• ガウス・ボンネの定理を適用して、(SO(3), d) 内の測地線の射影が、S² 上の等周曲線（一定の測地的曲率を持つ曲線）であることを示す。
• 分布 D に制限した指数写像を用い、Expₓ の臨界点を分析して共役集合 S(x) を定義する。
• 計量の左不変性を用いて、すべての幾何的対象を単位元におけるものに還元し、C(g) = gC(e) および S(g) = gS(e) が成り立つようにする。
• 角パラメータとパラメータ β を用いた測地線 γ_β(t) のパラメトリック公式を導出し、t₁(β) が最短弧の長さを決定することを示す。
• 三角関数の恒等式および不等式（例：sinψ および cosψ の表現）を用いて t₁(β) の振る舞いを解析し、β² = 1/3 で最大値をとることを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた不変性条件の下で、(SO(3), d) 内の測地線および最短弧の明示的パラメトリック表現は何か？
• RQ2 部分リーマン多様体 (SO(3), d) の直径は何か？ また、その値は β のどの値で達成されるか？
• RQ3 (SO(3), d) 内の切断特異点集合 C(e) はどのように位相的に構造づけられており、その位相同相型は何か？
• RQ4 共役集合 S(e) の構造は何か？ そして、切断特異点集合とはどのように関係しているか？
• RQ5 C(e) および S(e) の位相的および微分的構造は、リーマン幾何学と比べてどのように異なっているか？ 特に包含関係および閉包の観点から。

主な発見

• (SO(3), d) の直径は正確に π√3 であり、β² = 1/3 のとき達成される。
• 切断特異点集合 C(e) は、実射影平面 ℝP² と実直線 ℝ の合併に位相的に同相であり、1点で交わる。
• 共役集合 S(e) は ℝ に微分同相であり、すべての要素 γ_β(t₁(β)) で構成され、β² ≥ 1/3 を満たす。
• 共役集合の閉包 S(e) ∪ {e} は S¹ に微分同相である。
• 切断特異点集合から共役集合を除いた閉包 C(e) ∣ S(e) は ℝP² に微分同相である。
• 切断特異点集合 C(e) は共役集合 S(e) を含み、両者とも SO(3) の要素による左乗法に関して不変であり、C(g) = gC(e) および S(g) = gS(e) が成り立つ。