[論文レビュー] Locally trivial quantum vector bundles and associated vector bundles

Dirk Calow, Rainer Matthes|ArXiv.org|Feb 27, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、余接積と微分構造を用いて、局所的に自明な量子主バンドル（QPFB）から局所的に自明な量子ベクトルバンドル（QVB）およびその関連接続を構成するフレームワークを確立する。接続と曲率がQPFB上で定義されると、それらが型$\rho$の水平形式との同型を介して、関連QVB上に対応する接続と曲率を誘導することを証明しており、非可換設定における古典的関連バンドル理論の一般化である。

ABSTRACT

We define locally trivial quantum vector bundles (QVB) and QVB associated to locally trivial quantum principal fibre bundles. There exists a differential structure on the associated vector bundle coming from the differential structure on the principal bundle, which allows to define connections on the associated vector bundle associated to connections on the principal bundle.

研究の動機と目的

• 局所的に自明な量子主バンドル（QPFB）に関連する局所的に自明な量子ベクトルバンドル（QVB）を定義し構成すること。
• QPFBの微分構造から導かれるQVB上の微分構造を確立すること。
• QPFB上の接続から引き戻しを用いて、QVB上の接続と曲率を定義すること。
• 関連QVB上の微分構造が、QPFB上の型$\rho$の水平形式のモジュールと同型であることを示すこと。
• QPFB上の任意の左不変微分作用素が、関連QVB上に一意に接続を誘導することを示すこと。

提案手法

• 完全被覆を持つ代数上に、局所的自明化と典型的なファイバーをベクトル空間として用いてQVBを定義する。
• 関連QVBを余接積$E({\cal P},F) = {\cal P} \square_H F$として構成する。ここで$H$は構造群のホップ代数である。
• QPFBの微分構造$\Gamma_c({\cal P})$から誘導される最大埋め込み可能LC微分代数$\Gamma_m(B)$を用いて、関連QVBに微分構造を導入する。
• 左不変微分作用素を用い、$horE({\cal P},F)$と$E_\Gamma({\cal P},F)$の間の同型$\epsilon_\Gamma$を介して、QVB上の接続を共変微分として定義する。
• 接続と曲率の局所的表現を導出する：$\nabla_i(\gamma \otimes f) = d\gamma \otimes f - \sum (-1)^n \gamma A_{l_i}(f_{-1}) \otimes f_0$および$\nabla^2_i(\gamma \otimes f) = \sum \gamma F_{l_i}(f_{-1}) \otimes f_0$。
• 誘導されたQVB上の接続が$\nabla = \epsilon_\Gamma \circ (D_l \otimes \text{id}) \circ \epsilon_\Gamma^{-1}$を満たすことを証明し、QPFB上の接続と関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な関連バンドルの構成に類似した方法で、局所的に自明な量子ベクトルバンドル（QVB）をどのように定義できるか？
• RQ2 基礎となる量子主バンドルの微分構造から、関連QVB上に生じる微分構造は何か？
• RQ3 量子主バンドル上の接続と、その関連量子ベクトルバンドル上の接続はどのように関係するか？
• RQ4 QPFB上の型$\rho$の水平形式のモジュールを、その微分構造を備えた関連QVBと自然に同一視できるか？
• RQ5 QPFB上の接続から誘導される関連QVB上の接続と曲率の明示的局所表現は何か？

主な発見

• 余接積$E({\cal P},F) = {\cal P} \square_H F$として構成された関連QVBは、QPFBから引き継がれる遷移関数を持つ局所的に自明なQVBである。
• QPFB上の型$\rho$の水平形式のモジュールと、$\Gamma_m(B)$を介した関連QVB上の微分構造は同型である。
• QPFB上の任意の左不変微分作用素は、同型$\epsilon_\Gamma$を介して、関連QVB上に一意に接続を誘導する。
• 関連QVB上の局所接続は、$\nabla_i(\gamma \otimes f) = d\gamma \otimes f - \sum (-1)^n \gamma A_{l_i}(f_{-1}) \otimes f_0$で与えられ、ここで$A_{l_i}$は局所接続1形式である。
• 誘導された接続の曲率は$\nabla^2_i(\gamma \otimes f) = \sum \gamma F_{l_i}(f_{-1}) \otimes f_0$を満たし、$F_{l_i}$は局所曲率2形式である。
• 誘導された接続は$\nabla = \epsilon_\Gamma \circ (D_l \otimes \text{id}) \circ \epsilon_\Gamma^{-1}$を満たし、QPFBの微分構造と整合的である。