[論文レビュー] Locating the eigenvalues of matrix polynomials

Dario A. Bini, Vanni Noferini+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2012

Matrix Theory and Algorithms参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、スカラー多項式に対する古典的な根の局所化手法—ペルールの定理およびニュートン多角形法—を行列多項式へ拡張し、エーリッヒ＝アーベル反復法における有効な初期近似選択を可能にする。トロピカル代数と固有値の絶対値の上限を活用することで、多項式固有値問題における収束に必要な平均的および最大の反復回数を顕著に削減する。

ABSTRACT

Some known results for locating the roots of polynomials are extended to the case of matrix polynomials. In particular, a theorem by A.E. Pellet [Bulletin des Sciences Mathématiques, (2), vol 5 (1881), pp.393-395], some results of D.A. Bini [Numer. Algorithms 13:179-200, 1996] based on the Newton polygon technique, and recent results of M. Akian, S. Gaubert and M. Sharify (see in particular [LNCIS, 389, Springer p.p.291-303] and [M. Sharify, Ph.D. thesis, École Polytechnique, ParisTech, 2011]). These extensions are applied for determining effective initial approximations for the numerical computation of the eigenvalues of matrix polynomials by means of simultaneous iterations, like the Ehrlich-Aberth method. Numerical experiments that show the computational advantage of these results are presented.

研究の動機と目的

• 根の絶対値が著しく異なる場合に、多項式固有値ソルバーの収束が著しく悪化するという課題に対処する。
• エーリッヒ＝アーベルのような反復的固有値ソルバーの初期近似選択を、根の局所化手法を活用して改善する。
• スカラー多項式の根の上限—ペルールの定理およびニュートン多角形解析—を行列多項式へ拡張する。
• 初期近似の配置を決定する実用的な基準を開発し、固有値計算における計算コストを低減する。
• スカラー多項式向けの MPSolve ソフトウェアに類似した、効率的で高精度な行列多項式固有値計算を可能にする。

提案手法

• 係数のノルムとローチェの定理を用いて、固有値の絶対値を分析することで、ペルールの定理を行列多項式に適応する。
• 点 (i, log||A_i||) をプロットし、上側の凸包を計算することで、行列多項式の係数に対するニュートン多角形を構築する。
• ニュートン多角形の各辺の傾きを用いて、初期近似の配置に適した半径 r_i = ||A_{k_{i-1}}|| / ||A_{k_i}||^{1/(k_i - k_{i-1})} を決定する。
• 各半径 r_i に、重複度 m_i = k_i - k_{i-1} に相当する数だけ、均等に配置された初期近似を配置することで、期待される固有値クラスタリングに一致させる。
• これらの構造的初期推定値を用いてエーリッヒ＝アーベル反復法を実行し、最大反復回数（simul_it）と平均反復回数（aver_it）の両方を追跡する。
• トロピカル代数の枠組みを用いてニュートン多角形の結果を解釈し、半径に基づくクラスタリングの有効性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペルールの定理およびニュートン多角形技法を、行列多項式へ一般化し、固有値の絶対値を評価できるか？
• RQ2 固有値の絶対値の局所化は、エーリッヒ＝アーベルのような反復的固有値ソルバーの収束をどのように改善できるか？
• RQ3 均等な円周配置と比較して、ニュートン多角形に基づく初期近似にはどのような計算上の利点があるか？
• RQ4 偏りのある固有値の絶対値を持つ行列多項式に対しても、これらの上限はどの程度有効に保たれるか？
• RQ5 ニュートン多角形法を用いて、MPSolve に類似した高精度の多倍長行列多項式根の求解器を設計できるか？

主な発見

• 偏りのある固有値の絶対値を持つ行列多項式において、ニュートン多角形に基づく初期近似は、均等な単位円周配置と比較して平均反復回数を最大75％まで削減する。
• m=40 の場合、平均反復回数（aver_it）は、単位円周配置の1466回からニュートン多角形の6.1回へと低下し、約240倍の削減が達成された。
• 最大反復回数（simul_it）も顕著に減少し、m=40 の場合、1594回から13回にまで低下した。これは、すべての成分において高速な収束を示している。
• 非直交性のある係数行列に対しても、同様の反復回数の削減が観察されたため、同手法は非直交係数行列に対しても有効である。
• 反復回数の削減は、行列サイズ m に比例して概ね線形に増加する傾向を示しており、大規模問題へのスケーラビリティが示唆される。
• ニュートン多角形法は、固有値が存在しない領域に初期近似を配置しない。アニュラスに基づく上限と、]s_{h_j}, t_{h_j}[ 間隔に根が存在しないことから、これが裏付けられている。