[論文レビュー] Locking free and gradient robust H(div)-conforming HDG methods for linear elasticity

Guosheng Fu, Christoph Lehrenfeld+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 41被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、体積力の拘束を回避し、勾配に頑健なH(div)-適合ハイブリッド不連続ガラーキン（HDG）法を、線形弾性問題に適用する。発散適合離散化を用いることで、ほぼ不可縮圧極限における安定性と精度を確保する。本手法は最適な収束率を達成し、ラメ定数の大きな値に対しても頑健であり、さまざまなテストケースにおける理論的・数値的妥当性が確認されている。

ABSTRACT

Robust discretization methods for (nearly-incompressible) linear elasticity are free of volume-locking and gradient-robust. While volume-locking is a well-known problem that can be dealt with in many different discretization approaches, the concept of gradient-robustness for linear elasticity is new. We discuss both aspects and propose novel Hybrid Discontinuous Galerkin (HDG) methods for linear elasticity. The starting point for these methods is a divergence-conforming discretization. As a consequence of its well-behaved Stokes limit the method is gradient-robust and free of volume-locking. To improve computational efficiency, we additionally consider discretizations with relaxed divergence-conformity and a modification which re-enables gradient-robustness, yielding a robust and quasi-optimal discretization also in the sense of HDG superconvergence.

研究の動機と目的

• 線形弾性問題の有限要素離散化における体積力の拘束と勾配に頑健な性質を解消すること、特にほぼ不可縮圧極限において。
• 体積力の拘束を回避し、勾配に頑健なH(div)-適合HDG法の新規クラスを開発すること。
• 弾性問題のストークス的部部分に対して、離散的なインフラ・サブ安定性と圧力に頑健な性質を保証すること。
• 自由度を削減しつつも、頑健性と収束性を維持する効率的な変種を提案すること。
• メッシュの細分化とラメ定数の変化を伴うベンチマーク例を通じて、数値的妥当性を検証すること。

提案手法

• 本手法は、線形弾性問題の混合弱形式に基づく発散適合HDG法を採用し、変位を発散ゼロ成分と回転ゼロ成分に安定かつ一貫した離散的分解を保証する。
• Raviart-Thomas型の有限要素空間を用い、数値フラックスを通じて弱くH(div)-適合性を強制するハイブリッド不連続ガラーキンフレームワークを採用する。
• 主な革新点は、勾配場と離散的に発散ゼロのテスト関数との間で離散的$L^2$直交性を導入することであり、これにより勾配に頑健な性質が実現される。
• 完全な適合性が緩和された場合でも、勾配に頑健な性質を再び回復させるために、修正された安定化項を導入する。これにより、完全な適合性が緩和された場合でも頑健性が保たれる。
• 重み付きノルムと双対性の議論を用いた事前誤差推定に基づく解析により、準最適性と体積力の拘束なしの性質が証明される。
• バリセントリックメッシュの細分化を用いた数値実験を行い、$\lambda$を変化させながら収束性と頑健性を、ほぼ不可縮圧領域で評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H(div)-適合HDG法を、線形弾性問題において同時に体積力の拘束なしで、勾配に頑健に設計できるか？
• RQ2 変位の発散ゼロ成分と回転ゼロ成分への離散的分解が、精度と安定性をどのように保つのか？
• RQ3 発散適合性を緩和した場合、収束性と頑健性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 ほぼ不可縮圧材料に一般的に見られる高い$\lambda$値に対しても、本手法が最適な収束率と頑健性を維持できるか？
• RQ5 標準的なHDG法や混合有限要素法と比較して、本手法の誤差挙動と条件数にはどのような差があるか？

主な発見

• 提案されたH(div)-適合HDG法は、体積力の拘束なしで勾配に頑健であり、変位のエネルギーノルムおよび$L^2$ノルムにおいて最適な収束率を示すことが証明された。
• 本手法は離散的インフラ・サブ安定性を維持し、速度解に影響を与えるのは力ベクトルの発散ゼロ成分のみであることを保証し、精度を維持する。
• 数値結果から、離散誤差ノルムがメッシュ細分化の段階を越えて$\lambda$にほぼ依存しないことが示され、ほぼ不可縮圧領域における頑健性が確認された。
• 緩和されたバージョンの手法は、グローバルに結合された自由度を削減しているが、修正された安定化項のおかげで準最適な収束性を達成し、勾配に頑健な性質を維持する。
• 誤差推定式により、変位の$L^2$誤差は$ h(\mu^{-1/2}\|\underline{\boldsymbol{u}} - \underline{\boldsymbol{u}}_h\|_{\mu,\ast,h} + \|({\rm id}-\Pi_Q)\operatorname{div}\boldsymbol{u}\|) $によって上界で抑えられることを示し、$\mu$および$\lambda$に対して頑健であることが確認された。
• バリセントリックメッシュで$k=2$の場合、誤差曲線は$\lambda$に依存せず、例2において理論的予測が妥当であることを検証した。