[論文レビュー] Loewner chains on the universal covering space of a Riemann surface

Jonathan Tsai|ArXiv.org|Dec 19, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、境界を持つリーマン面への古典的ロエナー微分方程式の拡張を、上半平面（上半平面）である普遍被覆空間への曲線の lifted によって行い、時間に依存する共形写像族が一般化されたロエナー方程式を満たすように導出する。主な貢献は、普遍被覆上の共形写像の時間発展を記述する微分方程式を確立することであり、これにより、多様連結領域およびリーマン面上での確率的ロエナー過程（SLE）の基礎が築かれる。

ABSTRACT

Let R be a hyperbolic Riemann surface with boundary $\partial R$ and suppose that $γ:[0,T] o R\cup\partial R$ is a simple curve growing from the boundary of R. By lifting $R_{t}=R\setminus γ(0,t]$ to the universal covering space of R (which we assume is the upper half-plane $\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C}:Im[z]>0\}$) via the covering map $π:\mathbb{H} o R$, we can define a family of simply-connected domains $D_{t}=π^{-1}(R_{t})$. For each $t\in[0,T]$, suppose that f_{t} is a conformal map of \mathbb{H} onto D_{t} such that f(z,t)=f_{t}(z) is differentiable almost everywhere in (0,T) with respect to t. In this paper, we will derive a differential equation that describes how f(z,t) evolves in time t. This should be viewed as an extension of the Loewner differential equation to curves on Riemann surfaces with boundary. The motivation of this paper is the desire to extend Schramm's stochastic Loewner evolution (SLE) to multiply-connected domains and Riemann surfaces.

研究の動機と目的

• 境界を持つリーマン面、特に双曲的リーマン面へのチャーディナル・ロエナー微分方程式の一般化を図ること。
• 多様連結領域におけるロエナー鎖に自然な正規化がないという問題に対処すること。
• 曲線を普遍被覆に lifted することにより、リーマン面上での確率的ロエナー過程（SLE）を定義するための枠組みを提供すること。
• 底面の曲線が成長するに従い、時間とともに変化する普遍被覆上の共形写像の微分方程式を確立すること。
• 共形写像の進化における駆動関数および群構造を特徴づけることにより、リーマン面上でのSLEの構成を可能にすること。

提案手法

• 双曲的リーマン面 R（境界付き）上の単純な曲線 γ を、被覆写像 π: H → R を用いて、普遍被覆（上半平面 H）に lifted する。
• Rt = R ∖ γ(0,t] とおくとき、Dt = π⁻¹(Rt) として、単連結領域の族 Dt ⊂ H を定義する。
• 各 t ∈ (0,T) に対して、H → Dt への共形写像族 ft を構成し、ft がほとんど everywhere で t に関して微分可能であるようにし、ロエナー鎖を形成する。
• ft(z) = f(z,t) の時間発展を記述する微分方程式を導出し、古典的チャーディナル・ロエナー方程式を一般化する。
• R に関連するフクシアン群 Γ を用いて、デック変換の群を定義し、Γt = ft⁻¹ ∘ Γ ∘ ft として、群の時間発展を追跡する。
• 初期点の選択に依存しないことの証明により、ロエナー鎖の整合性を確立し、異なるパrameter化においても一貫した発展が保証されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ロエナー微分方程式は、特に多様連結の場合に、境界を持つリーマン面へどのように一般化可能か？
• RQ2 普遍被覆上のリーマン面上のロエナー鎖の存在性および微分可能性を保証する条件は何か？
• RQ3 被覆空間の共形的発展に伴い、フクシアン群構造はどのように変化するか？
• RQ4 ドリフト項と拡散項を含む駆動関数に拡張することで、リーマン面上での確率的ロエナー過程（SLE）を一貫して定義可能か？
• RQ5 多様連結な設定において自然な正規化がないことを踏まえ、リーマン面上のロエナー鎖に適した正規化およびパrameter化スキームは何か？

主な発見

• 本稿では、普遍被覆 H 上の共形写像 ft(z) の時間発展を記述する微分方程式を導出し、チャーディナル・ロエナー方程式をリーマン面へ一般化した。
• ft の発展は、ft における曲線の終点の逆像を含む微分方程式によって支配され、古典的ロエナー方程式と類似した形態を取る。
• 穴あき表面 R ∖ γ(0,t] に関連するフクシアン群 Γt は、ft による共共役により発展し、共形同型 R ∖ γ(0,t] ≅ H / Γt が保たれる。
• ロエナー鎖は、R ∖ Λ 内の初期点の選択に依存しないため、異なるパrameter化においても一貫性が保証される。
• 駆動関数にドリフト項 h(t)dt とブラウン運動項 √κ dBt を含めることで、チャーディナルSLEの一般化として、リーマン面上でのSLEの定義が可能になる。
• 有限リーマン面（有限生成フクシアン群）に対してこの構成は有効であり、近似を用いることでより一般的な場合へも拡張可能である。