[論文レビュー] Loewy series of Weyl modules and the Poincaré polynomials of quiver varieties

Ryosuke Kodera, Katsuyuki Naoi|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、A型およびDE型のカレント代数に対するウェイル加群が剛性を示すことを確立し、その根基系列とソクル系列が一致することを示し、カレント代数の次数による順序付けがクーヴァー多様体からのホモロジー的次数と一致することを証明する。主な結果として、レベル0の基本的表現のクリスタル上のエネルギー関数を用いてクーヴァー多様体のペアコローサー多項式の公式を導出し、これらのケースにおけるX=M予想を解決する。

ABSTRACT

We prove that a Weyl module for the current Lie algebra associated with a simple Lie algebra of type $ADE$ is rigid, that is, it has a unique Loewy series. Further we use this result to prove that the grading on a Weyl module defined by the degree of currents coincides with another grading which comes from the degree of the homology group of the quiver variety. As a corollary we obtain a formula for the Poincaré polynomials of quiver varieties of type $ADE$ in terms of the energy functions defined on the crystals for tensor products of level-zero fundamental representations of the corresponding quantum affine algebras.

研究の動機と目的

• カレント代数のADE型に対するウェイル加群のローウィ構造を特定すること。
• カレント代数の次数とクーヴァー多様体からのホモロジー的次数との等価性を確立すること。
• クリスタルのエネルギー関数を用いてクーヴァー多様体のペアコローサー多項式の公式を導出すること。
• 量子アフィン代数のADE型のレベル0基本的表現のテンソル積に対してX=M予想を証明すること。

提案手法

• アフィンリー代数におけるウェイル加群とデムズキー加群の同型を用いて、ウェイル加群の剛性を証明する。
• ウェイル加群の次数構造とクーヴァー多様体からの標準加群との同一視を用いて、次数を比較する。
• 虚根を法とするラクシュミバイ＝セシャドリ経路のクリスタル上の関数Dを用いて、ペアコローサー多項式を表現する。
• チャリ＝ロクテフ、フーリエ＝リッターマン、ナオイの1次元和とエネルギー関数に関する結果を活用し、次数付き特徴標を関連付ける。
• 同型 M(λ) ≅ W(λ) を用いて、標準加群とウェイル加群の次数付き特徴標を同一視する。
• ルシュティグの予想とモズゴボイの変種を用いて、フェルミオン的形と1次元和の等価性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カレント代数のADE型に対するウェイル加群は、一意的なローウィ系列を持つ、すなわち剛性を持つのか？
• RQ2 ウェイル加群における電流の次数で定義される順序付けは、クーヴァー多様体のホモロジーからの順序付けと一致するのか？
• RQ3 クーヴァー多様体のペアコローサー多項式は、レベル0の基本的表現のクリスタル上のエネルギー関数を用いて表現可能か？
• RQ4 量子アフィン代数のADE型のレベル0基本的表現のテンソル積に対してX=M予想は成立するのか？
• RQ5 これらの表現に対して、フェルミオン的形 M(λ,μ,t) と N(λ,μ,t) は等しいのか？

主な発見

• ADE型のウェイル加群 W(λ) は剛性を持つ。これは、その根基系列とソクル系列が一致することを意味する。
• ウェイル加群における電流の次数で定義される順序付けは、クーヴァー多様体のホモロジーからの順序付けと一致する。
• クーヴァー多様体のペアコローサー多項式は、∑α∈Q+∑k=0dα dim Hk(ℒ(α,λ)) t^{dα−k} e^{λ−α} = ∑μ∈P+ M(λ,μ,t−2) ch V(μ) で与えられる。
• 量子アフィン代数のADE型のレベル0基本的表現のテンソル積に対してX=M予想が証明された。
• 等式 X(λ,μ,t) = M(λ,μ,t) が成り立ち、フェルミオン的形が1次元和に一致することが確認された。
• A型における公式 ∑k=0dα dim Hk(ℒ(α,λ)) t^k = ∑T∈T(α,λ) t^{2l(T)} は、表とクリスタル経路の次数を保つ双対写像を介して、クリスタルに基づく公式と一致する。