[論文レビュー] Log canonical models for the moduli space of curves: First divisorial contraction

Brendan Hassett, Donghoon Hyeon|ArXiv.org|Jul 19, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、安定曲線のモジュライ空間 $\mathcal{M}_g$ の対数 canonical モデルが $\alpha = 9/11$ において、ノードとカスプのみを特異点として持つ曲線をパラメトライズする擬安定曲線のモジュライ空間 $\mathcal{M}^\mathrm{ps}_g$ と同型であることを確立している。$\alpha = 9/11$ における収縮は、1つの点で接続された genus-one 曲線（楕円テイル）をカスプに置き換えることで得られる、除法的収縮であり、$\alpha \in (7/10, 9/11]$ の範囲でモデルは変化しない。これは、$\mathcal{M}_g$ の対数 canonical モデルプログラムにおける最初の臨界的変化の双有理的幾何的実現を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we initiate our investigation of log canonical models for the moduli space of curves with the boundary divisor $\a \d$ as we decrease $\a$ from 1 to 0. We prove that for the first critical value $\a = 9/11$, the log canonical model is isomorphic to the moduli space of pseudostable curves, which have nodes and cusps as singularities. We also show that $\a = 7/10$ is the next critical value, i.e., the log canonical model stays the same in the interval $(7/10, 9/11]$. In the appendix, we develop a theory of log canonical models of stacks that explains how these can be expressed in terms of the coarse moduli space.

研究の動機と目的

• 安定曲線のモジュライ空間 $\mathcal{M}_g$ の双有理的幾何を、$\alpha$ を 1 から 0 へ減少させた際の対数 canonical モデル $\mathcal{M}_g(\alpha) = \mathrm{Proj} \bigoplus \Gamma(n(K_{\mathcal{M}_g} + \alpha \delta))$ を分析することで理解すること。
• 対数 canonical モデルが非自明な双有理的変換を受ける最初の臨界値 $\alpha = 9/11$ を特定すること。
• $\alpha = 9/11$ で得られるモデルが、ノードとカスプのみを特異点として持つ曲線をパラメトライズする、擬安定曲線のモジュライ空間 $\mathcal{M}^\mathrm{ps}_g$ と同型であることを確立すること。
• $(7/10, 9/11]$ の区間で対数 canonical モデルが変化しないこと、つまり安定な段階が得られることを特徴づけること。
• スタックに対する対数 canonical モデルの一般理論を構築し、それらを標準的分岐除法の引き戻しを介して、粗モジュライ空間と関連付けること。

提案手法

• 基点自由定理を $\alpha = 9/11$ における $K_{\mathcal{M}_g} + \alpha \delta$ に適用し、線形系統が基点をもたず、対数 canonical モデルへの準同型を誘導することを示す。
• $\mathcal{M}_g$ 上の交点論を用いて、楕円テイル（1つのノードで接続された genus-one 曲線と genus-$(g-1)$ 曲線の結合）に対応する唯一の極値的射 $R$ を同定する。
• 各楕円テイルをカスプに置き換える写像 $T: \mathcal{M}_g \to \mathcal{M}^\mathrm{ps}_g$ を構成し、$\delta_1$ の外側で同型であり、$\alpha = 9/11$ における極値的収縮を誘導することを証明する。
• 粗モジュライ空間の普遍性を用いて、スタック上の $\mathcal{O}(n(K_{\mathcal{M}_g} + \alpha \delta))$ のセクションを粗空間上のセクションと関連づけ、$\mathcal{M}^\mathrm{ps}_g$ との比較を可能にする。
• 付録で、デリーニュ＝マクマーレンスタックに対する対数 canonical モデルの一般理論を構築し、スタックの対数 canonical モデルとその粗モジュライ空間の対数 canonical モデルとの関係を、標準的分岐除法 $\check{D}$ を介して示す。
• $K_{\mathcal{M}_g} + \frac{9}{11}\delta$ が極値的射 $R$ とゼロ交点をもつことから、写像 $T$ が $\alpha = 9/11$ における対数 canonical モデルと同じ収縮を誘導することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(0,1]$ 内の $\alpha$ のうち、安定曲線のモジュライ空間の対数 canonical モデル $\mathcal{M}_g(\alpha)$ が非自明な双有理的変換を受ける最初の臨界値は何か？
• RQ2 $\alpha = 9/11$ における対数 canonical モデルは、既知の特異点をもつ曲線のモジュライ空間とどのように関係するか？
• RQ3 $\alpha \in (7/10, 9/11]$ の区間における対数 canonical モデル $\mathcal{M}_g(\alpha)$ の構造は何か？
• RQ4 $\alpha = 9/11$ における対数 canonical モデルは、所定の特異点をもつ曲線のモジュライ空間として実現可能か？
• RQ5 スタックの対数 canonical モデルとその粗モジュライ空間の対数 canonical モデルとの関係は何か？

主な発見

• $\alpha = 9/11$ における対数 canonical モデル $\mathcal{M}_g(\alpha)$ は、ノードとカスプのみを特異点として持つ曲線をパラメトライズする、擬安定曲線のモジュライ空間 $\mathcal{M}^\mathrm{ps}_g$ と同型である。
• $\alpha = 9/11$ における収縮は除法的であり、例外的集合は境界除法 $\Delta_1$ に含まれ、楕円テイルをカスプに置き換えることに対応する。
• $\alpha = 7/10$ から $\alpha = 9/11$ の間、対数 canonical モデル $\mathcal{M}_g(\alpha)$ は変化せず、したがってすべての $\alpha \in (7/10, 9/11]$ に対して $\mathcal{M}_g(\alpha) \cong \mathcal{M}^\mathrm{ps}_g$ が成り立つ。
• 楕円テイルをカスプに置き換える写像 $T: \mathcal{M}_g \to \mathcal{M}^\mathrm{ps}_g$ は、極値的収縮 $\Upsilon: \mathcal{M}_g \to \mathcal{M}_g(9/11)$ を誘導するため、対数 canonical モデルをモジュライ空間として実現する。
• $\alpha \in (7/10, 9/11]$ の範囲で、対数 canonical モデル $\mathcal{M}_g(\alpha)$ は $\mathbb{Q}$-ファクターである。これは収縮が除法的であり、像が射影的代数的多様体であるためである。
• 付録で構築された理論により、スタック $\mathcal{X}$ とその除法 $D$ に対して、標準的分岐除法 $\check{D}$ を介して、粗モジュライ空間からの対数 canonical モデルの計算が可能であることが示された。この $\check{D}$ は、スタック的自己同型と分岐を補正する。