[論文レビュー] Log canonical singularities and complete moduli of stable pairs

Valery Alexeev|ArXiv.org|Aug 17, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 46

ひとこと要約

本稿は、対 $(X,B)$ の安定対の完全なモジュライ空間を、射影的多様体の対数正則特異点をもつものについて構成する。これは、$n$-点付き安定曲線のモジュライを一般化する。次元 $\leq 3$ で知られている対数最小モデルプログラムの仮定のもと、Kollárの正則性補題と消失定理を用いて、$\mathbb{C}$ 上の安定準アーベル対 $(P_0, \Theta_0)$ のモジュライ空間が、半対数正則特異点によるコンパクト化のもとで射影的であることを証明する。

ABSTRACT

1) Assuming log Minimal Model Conjecture, we give a construction of a complete moduli space of stable log pairs of arbitrary dimension generalizing directly the space M_{g,n} of pointed stable curves. Each stable pair has semi log canonical singularities. 2) We prove that a stable quasiabelian pair, defined by author and I.Nakamura as the limit of abelian varieties with theta divisors, has semi log canonical singularities.

研究の動機と目的

• 任意次元における安定対 $(X,B)$ の完全なモジュライ空間を構成し、$M_{g,n}$ を高次元多様体に一般化すること。
• 安定準アーベル多様体および対 $(X,B)$ の特異点を、アーベル多様体の極限として研究すること。
• このような特異点が半対数正則であることを確立し、Kollárの正則性補題を用いて、コンパクト化の射影性を示すこと。
• 最小コンパクト化とトーラルコンパクト化の両方が $D/\Gamma$ に対して対数正則特異点をもち、最小コンパクト化が任意のトーラルコンパクト化の対数正則モデルであることを示すこと。
• 境界除数 $B$ が適切に定義されたとき、対の対数正則モデルが最小コンパクト化に対応することを示すこと。

提案手法

• 次元 $\leq 3$ で成立するとされる対数最小モデルプログラムを用いて、対数正則特異点をもつ安定対 $(X,B)$ のモジュライ空間を構成する。
• 特異点の定義として、差異条件 $a_i \leq 1$ を用いる：$f^*(K_X + B) = K_Y + f^{-1}B + \sum a_i E_i$ の式において。
• Nadelの形でのKawamata–Viehwegの消失定理を用いて、族 $\pi: P \to S$ 内の対 $(P, \Theta + P_0)$ の非対数正則部分 $Z$ を制御する。
• 相対消失 $R^1\pi_* J(\Theta + P_0) = 0$ を用いて、写像 $\pi_* \mathcal{O}_P(K_P + \Theta + P_0) \to \pi_* \mathcal{O}_Z(K_P + \Theta + P_0)$ の全射性を導く。
• 対数付加の逆を適用し、$Z$ が $\Theta$ に含まれていて中央ファイバーに含まれないことを用いて、$Z \neq \emptyset$ ならば矛盾が生じることを示し、対数正則性を証明する。
• 準アーベル群の作用と高次コホモロジーの消失を用いて、$\pi_* \mathcal{O}_Z(\Theta) \neq 0$ を示し、零写像 $\phi$ と矛盾することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数最小モデルプログラムのもとで、任意次元における安定対 $(X,B)$ のモジュライ空間は、完全なモジュライ空間として構成可能か？
• RQ2 安定準アーベル対 $(P_0, \Theta_0)$ の特異点は半対数正則か？ これは $A_g$ のコンパクト化にどのような意味を持つのか？
• RQ3 最小コンパクト化とトーラルコンパクト化の両方が $D/\Gamma$ に対して対数正則特異点をもち、最小コンパクト化が任意のトーラルコンパクト化の対数正則モデルであるか？
• RQ4 境界除数 $B$ はコンパクト化の対数正則モデルを決定づける役割を果たすか？
• RQ5 高次直接像の消失と準アーベル群の作用は、$\pi_* \mathcal{O}_Z(\Theta)$ の非消失を示すのにどのように寄与するか？

主な発見

• 対数最小モデルプログラムのもとで、対数正則特異点をもつ安定対 $(X,B)$ のモジュライ空間は、$M_{g,n}$ を高次元に一般化して完全である。
• 複素数体 $\mathbb{C}$ 上の安定準アーベル対 $(P_0, \Theta_0)$ は、一般ファイバーがアーベルで中央ファイバーが $P_0$ である族 $\pi: P \to S$ を用いて、半対数正則特異点をもつことが示された。
• 対 $(P, \Theta + P_0)$ は対数正則特異点をもち、付加の逆を用いることで $(P_0, \Theta_0)$ が半対数正則特異点をもつことが示された。
• $\pi_* \mathcal{O}_Z(\Theta)$ の非消失は零写像 $\phi$ と矛盾し、非対数正則部分 $Z$ が空でなければならないことを証明する。
• 安定準アーベル対による $A_g$ のコンパクト化は、半対数正則特異点対にKollárの正則性補題を適用することで、$\mathbb{C}$ 上で射影的である。
• 最小コンパクト化（Baily–Borel）とトーラルコンパクト化の両方が $D/\Gamma$ に対して対数正則特異点をもち、$B$ が適切に定義されたとき、最小コンパクト化は任意のトーラルコンパクト化の対数正則モデルである。