[論文レビュー] Log canonical thresholds in positive characteristic

Zhixian Zhu|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の特徴値を持つ完備体上の滑らかな代数多様体における除因子的価値と、アーキム空間内の非可約閉シリンダーの間の対応関係を確立し、対数正則特異点の閾値の公式の証明を、対数解体に依存せずに可能にする。滑らかな中心に沿った吹き上げにおける変数変換公式を活用することで、特徴値ゼロから正の特徴値への主要な結果の拡張がなされ、pを法としての還元による比較定理と、付加的の反転の定理のバージョンが得られる。

ABSTRACT

In this paper, we study the singularities of a pair (X,Y) in arbitrary characteristic via jet schemes. For a smooth variety X in characteristic 0, Ein, Lazarsfeld and Mustata showed that there is a correspondence between irreducible closed cylinders and divisorial valuations on X. Via this correspondence, one can relate the codimension of a cylinder to the log discrepancy of the corresponding divisorial valuation. We now extend this result to positive characteristic. In particular, we prove Mustata's log canonical threshold formula avoiding the use of log resolutions, making the formula available also in positive characteristic. As a consequence, we get a comparison theorem via reduction modulo p and a version of Inversion of Adjunction in positive characteristic.

研究の動機と目的

• 特徴値ゼロから任意の特徴値への、アーキム空間内のシリンダーと除因子的価値の対応関係の拡張。
• 対数解体に依存せずに、ムスタチャの対数正則特異点の閾値の公式の証明。
• pを法としての還元における対数正則特異点の閾値の比較定理の確立。
• 正の特徴値における、付加的の反転の定理のバージョンの証明。
• 特異点論の文脈において、正の特徴値設定へのモチーフ的積分技法の一般化。

提案手法

• ジェットスキーム $X_m$ とアーキム空間 $X_\infty$ を用い、部分スキーム $Y \subset X$ に対して接触集合 $\mathrm{Cont}^p(Y)$ と $\mathrm{Cont}^{\geq p}(Y)$ を考察する。
• 非支配的である $X$ に属する非可約閉シリンダー $C \subset X_\infty$ に対して、シリンダー価値 $\operatorname{ord}_C$ を定義し、それらを除因子的価値と関連付ける。
• 滑らかな中心に沿った吹き上げの変数変換公式のみを用いて、余次元に関する帰納法により、すべてのシリンダーバリエーションが除因子的価値から生じ、逆にすべての除因子的価値がシリンダーバリエーションから生じることを証明する。
• 変数変換公式を応用し、シリンダーの余次元と除因子的価値の対数歪みの関係を関連付ける。
• この対応関係を用いて、対数正則特異点の閾値の公式を導出する：任意の特徴値において $\operatorname{lct}(X,Y) = \min_m \left\{ \frac{\operatorname{codim}(Y_m, X_m)}{m+1} \right\}$。
• 完備体において $\operatorname{lct}(X,Y) = \operatorname{lct}(\overline{X}, \overline{Y})$ が成り立つことを示し、代数的閉包へのベースチェンジにおける不変性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーキム空間内のシリンダーと除因子的価値の対応関係は、特徴値ゼロから正の特徴値へ拡張可能か？
• RQ2 対数解体に依存せずに、ムスタチャの対数正則特異点の閾値の公式は正の特徴値でも成立するか？
• RQ3 代数的閉包へのベースチェンジにおいて、対数正則特異点の閾値は不変か？
• RQ4 ジェットスキームを用いて、正の特徴値における付加的の反転の定理のバージョンを証明できるか？
• RQ5 正の特徴値における、変数変換公式は、モチーフ的積分と特異点論においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、$X_\infty$ 内の非支配的非可約閉シリンダーと除因子的価値の間の全単射対応を確立し、ある $X$ 上の除因子 $E$ と $q > 0$ に対して $\operatorname{ord}_C = q \cdot \operatorname{ord}_E$ が成り立つことを示す。
• このようなシリンダーの余次元は $\operatorname{codim} C \geq q \cdot (1 + \operatorname{ord}_E(K_{X'/X}))$ を満たし、対応関係において等号が成り立つ。
• 対数正則特異点の閾値は、公式 $\operatorname{lct}(X,Y) = \min_m \left\{ \frac{\operatorname{codim}(Y_m, X_m)}{m+1} \right\}$ により、任意の特徴値で計算可能である。
• 対数正則特異点の閾値は代数的閉包へのベースチェンジで不変である：完備体において $\operatorname{lct}(X,Y) = \operatorname{lct}(\overline{X}, \overline{Y})$ が成り立つ。
• 正の特徴値において、付加的の反転の定理のバージョンが成り立つ：滑らかな除因子 $H \subset X$ に対して $\operatorname{lct}_Z(X,Y) \geq \operatorname{lct}_Z(H, H \cap Y)$ が成り立つ。
• 本稿は $\operatorname{lct}_x(X,Y) \geq 1/\operatorname{ord}_x(Y)$ を証明し、代数的閉体上での滑らかな多様体内の適切な閉部分スキームに対して $\operatorname{lct}(X,Y) > 0$ が成り立つことを示す。