[論文レビュー] Log-concavity and q-Log-convexity Conjectures on the Longest Increasing Subsequences of Permutations

William Y. C. Chen|ArXiv.org|Jun 20, 2008

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ひとこと要約

本稿では、順列とマッチングの長さが最長増加部分列および交差数によって数えられる多項式 $P_n(x)$ と $M_{2n}(x)$ に関する対数凹性および $q$-対数凸性に関する予想を提示する。Gesselの定理と行列式の公式を用いて、それぞれ $n \leq 18$ および $n \leq 15$ に対して明示的な多項式を導出し、両系列が無限大の $q$-対数凸性および任意の次数の対数凹性を示すと予想する。

ABSTRACT

Let $P_{n,k}$ be the number of permutations $π$ on [n]={1, 2,..., n} such that the length of the longest increasing subsequences of $π$ equals k, and let $M_{2n, k}$ be the number of matchings on [2n] with crossing number k. Define $P_n(x)= \sum_k P_{n,k}x^k$ and $M_{2n}(x)=\sum_{k} M_{2n,k}x^k$. We propose some conjectures on the log-concavity and q-log-convexity of the polynomials $P_n(x)$ and $M_{2n}(x)$. We also introduce the notions of $\infty$-q-log-convexity and $\infty$-q-log-concavity, and the notion of higher order log-concavity with respect to $\infty$-q-log-convex or $\infty$-q-log-concavity. A conjecture on the $\infty$-q-log-convexity of the Boros-Moll polynomials is presented. It seems that $M_{2n}(x)$ are log-concave of any order with respect to $\infty$-q-log-convexity.

研究の動機と目的

• 最長増加部分列の長さによる順列を数える多項式 $P_n(x)$ の対数凹性および $q$-対数凸性の性質を調査すること。
• これらの予想を、マッチングの交差数による生成多項式 $M_{2n}(x)$ に拡張すること。
• $\infty$-$q$-対数凸性および $q$-対数凸性に関する高次対数凹性の概念を導入し、それらを検討すること。
• Boros-Moll多項式の $\infty$-$q$-対数凸性に関する予想を提示し、$q$-対数凸列の広範な枠組みと関連付けること。
• $P_n(x)$ および $M_{2n}(x)$ の明示的な多項式展開を $n=18$ および $n=15$ まで提供し、予想の実験的検証を支援すること。

提案手法

• Gesselの行列式公式を用いて、$u_k(n) = \#\{\pi \in \mathfrak{S}_n : \mathrm{is}(\pi) \leq k\}$ を用い、$P_n(x) = \sum_k P_{n,k} x^k$ を定義する。ここで $P_{n,k}$ は長さ $k$ の最長増加部分列をもつ $\mathfrak{S}_n$ 内の順列の数を表す。
• $P_n(x)$ を差分 $u_k(n) - u_{k-1}(n)$ として表現し、行列式 $U_k(x) = \det(I_{i-j}(2x))_{i,j=1}^k$ を用いて係数を計算可能にする。
• Grabiner-Magyarの行列式公式 $V_k(x) = \det(I_{i-j}(2x) - I_{i+j}(2x))_{i,j=1}^k$ を用いて、$M_{2n}(x) = \sum_k M_{2n,k} x^k$ を定義する。ここで $M_{2n,k}$ は $[2n]$ 上のマッチングで交差数が $k$ のものの個数を表す。
• $M_{2n,k} = v_k(n) - v_{k-1}(n)$ を計算し、$v_k(n)$ を交差数 $\leq k$ のマッチングの個数として定義し、$V_k(x)$ から $M_{2n}(x)$ を導出する。
• $\infty$-$q$-対数凸性および $q$-対数凸性に関する $k$-次対数凹性の概念を導入し、古典的対数凹性を多項式列に一般化する。
• $n \leq 18$ および $n \leq 15$ に対して $P_n(x)$ および $M_{2n}(x)$ の明示的な多項式展開を用いて、$q$-対数凸性および高次対数凹性に関する予想を実験的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最長増加部分列の長さによる順列の生成多項式 $P_n(x)$ は、すべての $n \geq 1$ に対して対数凹性を満たすか？
• RQ2 $\{P_n(x)\}$ の系列は、すべての $n \geq 1$ に対して強く $q$-対数凸的であり、$\infty$-$q$-対数凸的であるか？
• RQ3 交差数によるマッチングを数える多項式 $M_{2n}(x)$ は、すべての $n \geq 1$ に対して対数凹性および $\infty$-$q$-対数凸的であるか？
• RQ4 Boros-Moll多項式の系列は、$\infty$-$q$-対数凸性に関して $\infty$-$q$-対数凸的かつ任意の次数の対数凹性を満たすか？
• RQ5 $M_{2n}(x)$ の係数は、$q$-対数凸性に関して高次対数凹性を示すか、特に $n \leq 15$ の場合にその傾向が顕著か？

主な発見

• $n \leq 18$ に対して、多項式 $P_n(x)$ は対数凹性を示し、Gesselの行列式公式を用いて係数 $P_{n,k}$ が計算可能である。
• $n \leq 18$ に対して $P_n(x)$ は強い $q$-対数凸性を示し、系列 $\{P_n(x)\}$ は $\infty$-$q$-対数凸的であると予想される。
• $n \leq 15$ に対して多項式 $M_{2n}(x)$ は対数凹性を示し、その係数は 4-対数凹性を示しており、$\infty$-$q$-対数凸性の予想を支持する。
• $n \leq 14$ に対して系列 $\{M_{2n}(x)\}$ は $q$-$3$-対数凹性を示しており、$q$-$\infty$-対数凸性の可能性を示唆する。
• Boros-Moll多項式は、$\infty$-$q$-対数凸的かつ任意の次数の対数凹性を満たすと予想される。
• $P_n(x)$ および $M_{2n}(x)$ の明示的展開を $n=18$ および $n=15$ まで提供しており、例として $P_{18}(x)$ は $x^{18}$ 項の係数が 1、$x^2$ 項の係数が 477638699 である。