[論文レビュー] Log concavity for matrix-valued functions and a matrix-valued Prékopa theorem

Hossein Raufi|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、複素微分幾何学に由来する曲率条件を介してスカラーの対数凸性を一般化する、行列値関数における2つの対数凸性の概念——Griffiths型およびNakano型——を導入する。行列値計量の曲率条件を用いて、重み付きベクトル値Paley-Wiener定理と直接像バンドルの正定値性を組み合わせることで、行列値Prékopa定理を証明する。その結果、凸集合上での積分によってもNakano対数凸性が保たれることを示し、古典的Prékopa定理を行列設定に拡張する。

ABSTRACT

We give two different definitions of what it means for a matrix-valued function to be log concave, guided by similar notions in complex differential geometry. After discussing a few simple examples, we proceed to develop some of the basic properties associated with these new concepts. Finally, we prove a matrix-valued Prékopa theorem using a weighted, vector-valued Paley-Wiener theorem, and positivity properties of direct image bundles.

研究の動機と目的

• 複素微分幾何学に由来する曲率条件を模倣して、行列値関数の対数凸性の意味のある一般化を定義すること。
• 古典的Prékopa定理の行列値版を確立し、周辺化による凸性の保存を保証すること。
• 実設定におけるベクトルバンドルへの対数凸性理論の拡張を図り、複素幾何におけるGriffithsおよびNakano曲率と一致させること。
• 凸集合上での積分が、行列値関数のNakano対数凸性を保つことの証明

提案手法

• R^n 上の2回連続微分可能で正定値ヘルミート行列関数としての行列値計量を定義する。
• 行列値関数に対して曲率作用素 Θ_jk^g = ∂/∂x_k (g^{-1} ∂g/∂x_j) を導入する。
• すべての u ∈ C^r, v ∈ C^n に対して ∑_{j,k} (Θ_jk^g u, u)_g v_j v̄_k ≤ 0 を満たすことで、Griffiths対数凸性を定義する。
• すべての u_j ∈ C^r に対して ∑_{j,k} (Θ_jk^g u_j, u_k)_g ≤ 0 を満たすことで、Nakano対数凸性を定義する。
• 重み付きベクトル値Paley-Wiener定理と直接像バンドルの正定値性を用いて、行列値Prékopa定理を証明する。
• セクションのL^2空間間の同型写像を確立し、元のバンドルから変換後のバンドルへの曲率正定値性の転送を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素幾何における曲率条件を模倣する適切な行列値対数凸性の一般化とは何か？
• RQ2 古典的Prékopa定理は、積分下でも対数凸性を保つように、行列値関数へ拡張可能か？
• RQ3 行列値関数がNakano対数凸性を満たすならば、その凸集合上での積分も依然としてNakano対数凸性を保つか？
• RQ4 行列設定におけるGriffithsおよびNakano対数凸性の概念はどのように関係し合い、r=1のときにはスカラー対数凸性にどのように還元されるか？

主な発見

• 行列値Prékopa定理が成り立つ：g(y,t) が t に関してNakano対数凸性を満たすならば、その積分 ̃g(t) = ∫ g(y,t) dV(y) も t に関してNakano対数凸性を保つ。
• 証明は、積分をフーリエ型作用素に変換するための重み付きベクトル値Paley-Wiener定理に依存する。
• 直接像バンドルの正定値性により、曲率正定値性（Nakano対数凸性）が積分変換下でも保存される。
• K の特性関数を単調に増加する凸関数で近似することで、任意の凸集合上での積分へも結果を拡張可能である。
• 系1.3では、φ(y,t) が凸で Θ^A が負定値であるとき、g(y,t) = e^{-φ(y,t)} A(y) の形の関数がNakano対数凸な積分を与えることが示される。
• 行列値曲率作用素 Θ_jk^g は、スカラー対数凸性を行列設定に一般化するための微分幾何的構造を捉えている。