[論文レビュー] Log-concavity of volume and complex Monge-Amp\\`ere equations with prescribed singularity

Tamás Darvas, Eleonora Di Nezza+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 40被引用数 39

ひとこと要約

この論文は、コンpact Kähler多様体上における複素 Monge-Ampère 方程式の解の存在および一意性を、有界でない部分集合が小さいという前提を外して確立する。また、閉じた正の (1,1)-電流の体積の対数凹性を確認し、相対的多重ポテンシャル論と凸幾何学における Brunn-Minkowski 理論の深い対応関係を特定する。

ABSTRACT

Let $(X,\\omega)$ be a compact K\\"ahler manifold. We prove the existence and uniqueness of solutions to complex Monge-Amp\\`ere equations with prescribed singularity type. Compared to previous work, the assumption of small unbounded locus is dropped, and we work with general model type singularities. We state and prove our theorems in the context of big cohomology classes, however our results are new in the K\\"ahler case as well. As an application we confirm a conjecture by Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi concerning log-concavity of the volume of closed positive $(1,1)$-currents. Finally, we show that log-concavity of the volume in complex geometry corresponds to the Brunn-Minkowski inequality in convex geometry, pointing out a dictionary between our relative pluripotential theory and $P$-relative convex geometry. Applications related to stability and existence of csck metrics are treated elsewhere.

研究の動機と目的

• 閉じた正の (1,1)-電流の体積関数の対数凹性に関する Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi の長年の予想を解決すること。
• 有界でない部分集合が小さいという条件を課さずに、所定の特異性型を持つ複素 Monge-Ampère 方程式の解の存在および一意性を確立すること。
• Kołodziej よりも前記の結果を、ビッグコhomology類および一般のモデル型特異性へ一般化すること。
• 相対的多重ポテンシャル論と凸幾何学における P-相対的凸幾何学の間の正確な辞書を明らかにすること、特に Brunn-Minkowski 不等式と関連して。

提案手法

• 解の $L^p$-可積分性を制御するための主要な技術的道具として、相対的 Kołodziej 評価（定理 3.3）を導入する。
• 相対的エンvelope $P_{\theta}[\bullet]$ を用いてモデル型特異性を定義・特徴づけ、特異性型がうまく定義されることを保証する。
• 多重ポテンシャル論を用いて、$u \in \textup{PSH}(X,\theta)$ に対して非多重ポテンシャル Monge-Ampère 測度 $\theta_u^n$ を定義し、電流の意味での方程式の定式化を可能にする。
• 支持関数とトーリックモデルポテンシャル $\phi_P$ を通じて、$\mathbb{R}^n$ 内の凸体と正の電流の特異性の間の対応を確立する。
• 凸幾何学における Brunn-Minkowski 不等式を、$\mathbb{CP}^n$ 上の混合 Monge-Ampère 積を通じて、複素幾何的不等式に翻訳する。
• トーラス作用 $(S^1)^n$ における不変性を用いて問題をトーリック設定に還元し、凸解析および容量評価の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 所定の特異性型を持つ複素 Monge-Ampère 方程式は、有界でない部分集合が小さいという仮定なしに解けるか？
• RQ2 コンpact Kähler 多様体上での閉じた正の (1,1)-電流のコーン上で体積関数は対数凹性を示すか？
• RQ3 特異計量の相対的多重ポテンシャル論は、凸体の Brunn-Minkowski 理論までどの程度類似しているか？
• RQ4 指数的非線形性を有する Aubin-Yau 型方程式において、Monge-Ampère 方程式の解はどのように振る舞うか？
• RQ5 計量の特異性型とその関連する Monge-Ampère 測度の可積分性との間の正確な関係は何か？

主な発見

• 定理 A(i) は、$[\phi]$ がモデル型特異性であり、$f \in L^p(\omega^n)$, $p > 1$ かつ $\int_X f\omega^n = \int_X \theta_\phi^n > 0$ を満たすとき、$\theta_u^n = f\omega^n$ および $[u] = [\phi]$ を満たす解 $u$ の存在および一意性（定数の違いを除いて）を確立する。
• 定理 A(ii) は、この結果を Aubin-Yau 型方程式 $\theta_u^n = e^{\lambda u}f\omega^n$ に拡張し、$\lambda > 0$ に対して同じ条件下で解の存在および一意性を証明する。
• Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi の対数凹性予想は完全に確認された：体積関数 $[\phi] \mapsto \int_X \theta_\phi^n$ は特異性型の空間上で対数凹性を示す。
• 本論文は正確な対応関係を確立する：凸幾何学における Brunn-Minkowski 不等式は、複素幾何学における体積の対数凹性に対応し、混合 Monge-Ampère 積は混合体積に対応する。
• トーリック対称性を有する $\mathbb{CP}^n$ 上の Monge-Ampère 方程式の解は、ある $L^{n+\delta}$ 可積分性条件を満たすデータに対して有界であることが、体積-容量比較を用いて示される。
• 混合 Monge-Ampère 積 $\int_{\mathbb{CP}^n} \prod_{j=1}^n (r\omega_{FS} + i\partial\bar{\partial}\phi_{P_j})$ は $\frac{n!}{2^n} \textup{MV}(P_1,\ldots,P_n)$ に等しく、複素版の Brunn-Minkowski 不等式の証明となる。