[論文レビュー] Log minimal model program for the moduli space of stable curves of genus three

Donghoon Hyeon, Yongnam Lee|ArXiv.org|Mar 3, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 18

ひとこと要約

本論文は、双1次曲線のHilbertおよびChow多様体のGIT商として、すべての対数正則モデルを構成し、モジュラー的に解釈することにより、3次曲線のモジュライ空間の対数最小モデルプログラムを完了した。主な貢献は、1つを除くすべてのモデルを既知のコンパクト化と特定することであり、一方で、特定の安定性条件を満たすノード、カスプ、タクノードをもつ曲線（h-安定曲線）を用いた、$M_3$ の新しいモジュラーコンパクト化を導入した。

ABSTRACT

In this paper, we completely work out the log minimal model program for the moduli space of stable curves of genus three. We employ a rational multiple $αδ$ of the divisor $δ$ of singular curves as the boundary divisor, construct the log canonical model for the pair $(\bar{\mathcal M}_3, αδ)$ using geometric invariant theory as we vary $α$ from one to zero, and give a modular interpretation of each log canonical model and the birational maps between them. By using the modular description, we are able to identify all but one log canonical models with existing compactifications of $M_3$, some new and others classical, while the exception gives a new modular compactification of $M_3$.

研究の動機と目的

• 3次曲線の安定曲線のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_3$ の対数最小モデルプログラムを完了すること。
• すべての対数正則モデル $\overline{M}_3(\alpha)$ を $\alpha$ が 1 から 0 に変化する間に構成し、モジュラー的に解釈すること。
• 幾何的不変理論（GIT）を用いて、対数正則モデルを既存のコンパクト化または新しいコンパクト化と特定すること。
• 3次曲線の双1次曲線に対する新しい安定性条件（h-安定性およびc-安定性）を定義し、それらを研究すること。
• h-安定曲線を用いた $M_3$ の新しいモジュラーコンパクト化を確立すること。これは、既知のいかなるコンパクト化とも同型でない。

提案手法

• 境界 divisor $\alpha\delta$ を $\alpha=1$ から $\alpha=0$ に変化させ、$\delta$ を特異曲線の divisor とする。このとき、対数正則モデル $\overline{M}_3(\alpha)$ を構成する。
• 幾何的不変理論（GIT）を用いて、$SL(6)$-作用の下で、Hilbert多様体 $Hilb_{3,2}$ および Chow多様体 $Chow_{3,2}$ の商として $\overline{M}_3(\alpha)$ を実現する。
• ノード、カスプ、タクノードをもち、正則な canonical sheaf をもつ曲線として h-安定曲線を定義する。さらに、1次元部分曲線が残りの部分と少なくとも2点で交わる条件を課す。
• c-安定曲線を、h-安定曲線に加え、2つの楕円曲線が2つのノードで接する「楕円ブリッジ」を除外する条件を追加することで定義する。
• モデル間の有理写像を確立する：$\alpha=9/11$ で小収縮、$\alpha=7/10$ でフリップ、$\alpha=17/28$ で除法的収縮。
• K3曲面の周期領域とBaily-Borelコンパクト化を用いて、Kondoのモジュライ空間 $\overline{\mathcal{K}}$ と $\overline{M}_3(7/10)$ の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $\alpha \in (0,1]$ に対して対数正則モデル $\overline{M}_3(\alpha)$ は何か？ それらは有理写像によってどのように関係しているか？
• RQ2 これらのモデルのうち、既存の $M_3$ のコンパクト化に対応するものはどれで、新しいものはどれか？
• RQ3 対数正則モデルは、双1次曲線のHilbertまたはChow多様体のGIT商として実現可能か？
• RQ4 これらのモデルがパラメトライズする曲線を分類する正確な安定性条件（h-安定、c-安定）は何か？
• RQ5 擬安定平面曲線をもつK3曲面のモジュライ空間は、$\overline{M}_3$ の対数正則モデルとどのように関係しているか？

主な発見

• 対数正則モデル $\overline{M}_3(7/10)$ は、GIT商 $Chow_{3,2}//SL(6)$ と同型であり、これはc-安定曲線をパラメトライズする。
• モデル $\overline{M}_3(17/28)$ は、コンパクトなモジュライ空間 $\overline{Q} = \mathbb{P}(\Gamma(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(4)))///SL(3)$ と同型であり、これは平面四次曲線をパラメトライズする。
• モデル $\overline{M}_3^{hs} = \overline{M}_3(\alpha)$（$17/28 < \alpha < 7/10$）は、GIT商 $Hilb_{3,2}//SL(6)$ と同型であり、これはh-安定曲線をパラメトライズする。
• 対数正則モデル $\overline{M}_3(7/10)$ は、Kondoのコンパクト化モジュライ空間 $\overline{\mathcal{K}}$ と同型であり、$\overline{\mathcal{K}} \setminus \{q\}$ と $\overline{M}_3^{cs} \setminus \{\text{厳密に半安定な点}\}$ を同一視する同型写像が存在する。
• h-安定曲線のモジュライ空間 $\overline{M}_3^{hs}$ は、$M_3$ の新しいコンパクト化であり、既知のいかなるコンパクト化とも同型でない。
• Chow_{3,2}//SL(6) 内のすべての厳密に半安定曲線が、モジュライ空間内で同定されており、この同定が $\overline{Q}$ への同型の根拠となっている。