[論文レビュー] Log-singularities for studying capacities of quantum channels

Vikesh Siddhu|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2020

Quantum Information and Cryptography被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、密度行列の零固有値付近におけるフォン・ノイマンエントロピーの対数微分である対数特異性——を導入し、量子チャネルの整合情報 𝒬⁽¹⁾ を分析する。これらの特異性を活用することで、量子容量における非加法性を示し、出力次元が環境次元を上回り、環境のランクが純粋状態出力のランクと一致する場合、いかなるノイジーなチャネルに対しても 𝒬⁽¹⁾ > 0 であることを証明する。これは、従来注目されなかったチャネルにおいて驚くべき正の整合性を示している。

ABSTRACT

A small linear increase from zero in some eigenvalue of a density operator makes the derivative of its von-Neumann entropy logarithmic. We call this logarithmic derivative a $\log$-singularity and use it develop methods for checking non-additivity and positivity of the coherent information $\mathcal{Q}^{(1)}$ of a noisy quantum channel. One concrete application of our method leads to a novel type of non-additivity where a zero quantum capacity qubit amplitude damping channel in parallel with a simple qutrit channel is shown to have larger $\mathcal{Q}^{(1)}$ than the sum of $\mathcal{Q}^{(1)}$'s of the two individual channels. Another application shows that any noisy quantum channel has positive $\mathcal{Q}^{(1)}$ if its output dimension is larger than its complementary output (environment) dimension and this environment dimension equals the rank of some output state obtained from a pure input state. Special cases of this result prove $\mathcal{Q}^{(1)}$ is positive for a variety of channels, including the complement of a qubit channel, and a large family of incomplete erasure channels where the positivity of $\mathcal{Q}^{(1)}$ comes as a surprise.

研究の動機と目的

• フォン・ノイマンエントロピーにおける対数特異性に基づく新しい解析的手法を考案し、量子チャネル容量を研究すること。
• ノイジーな量子チャネルにおける1ショット整合情報 𝒬⁽¹⁾ の非加法性および正の性質を特定する長年の課題に取り組むこと。
• 出力次元が環境次元を上回る場合に、ノイジーであるにもかかわらず以前に気づかれていなかったケースで量子チャネルが正の 𝒬⁽¹⁾ を示すことを同定すること。
• 任意のノイジーなチャネルが正の 𝒬⁽¹⁾ を持つ一般条件を確立し、既知の結果をより広いクラスのチャネルに拡張すること。

提案手法

• 密度行列の零固有値付近におけるフォン・ノイマンエントロピーの対数微分として、対数特異性を定義する。
• これらの対数特異性の振る舞いを用いて、入力状態の微小な摂動における整合情報 𝒬⁽¹⁾ の微分を分析する。
• 平行なチャネルの組み合わせを研究するためにこの手法を適用し、特にクビットの減衰チャネルとクトゥリットチャネルの組み合わせにおいて非加法性を検出する。
• 一般基準を導出：チャネルの出力次元がその補足（環境）次元を上回り、環境のランクが純粋状態出力のランクと一致する場合、𝒬⁽¹⁾ > 0 である。
• この基準を用いて、クビットチャネルの補足および大規模な不完全消去チャネルの族に対して 𝒬⁽¹⁾ の正の性質を証明する。
• 標準的手法が失敗する低次元および非ユニタリチャネルにおいて、対数特異性フレームワークを用いて非加法性を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数特異性は、量子チャネルの1ショット整合情報における非加法性を検出するために用いることができるか？
• RQ2 ノイジーな量子チャネルが非理想であるにもかかわらず、どのような条件下で正の1ショット整合情報 𝒬⁽¹⁾ を持つことができるか？
• RQ3 特定のノイズモデルに依存しない、チャネルの一般的構造的条件で 𝒬⁽¹⁾ > 0 を保証するものは存在するか？
• RQ4 提案された手法により、不完全消去チャネルやチャネル補足において予期しない 𝒬⁽¹⁾ の正の性質を明らかにできるか？
• RQ5 出力次元と環境次元の間の相互作用が、チャネルの整合情報にどのように影響するか？

主な発見

• ゼロ容量のクビット減衰チャネルと単純なクトゥリットチャネルを並列に接続した場合、個々の 𝒬⁽¹⁾ 値の和よりも高い 𝒬⁽¹⁾ を示す、まったく新しいタイプの非加法性が実証された。
• 出力次元が補足（環境）系の次元を上回り、環境のランクが純粋状態出力のランクと一致する限り、いかなるノイジーな量子チャネルに対しても 𝒬⁽¹⁾ > 0 である。
• この条件により、クビットチャネルの補足が正の 𝒬⁽¹⁾ を持つことが証明され、これは以前に未知で直感に反する結果であった。
• この手法により、以前はゼロまたは負の 𝒬⁽¹⁾ を持つと考えられていた、大規模な不完全消去チャネルの族が実際に正の1ショット整合情報を有することを明らかにした。
• 対数特異性フレームワークは、標準的手法が失敗する量子チャネルにおいて、非加法性および正の性質を系統立てて検出する手段を提供する。
• 結果として、出力次元と環境次元の不均衡がある場合に、見かけ上有害なノイズを持つチャネルにおいても量子容量が出現することが示された。