[論文レビュー] Log-space counter is useful for unary languages by help of a constant-size quantum register

Abuzer Yakaryılmaz|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2013

semigroups and automata theory参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子状態と古典的状態を併用する2方向1カウンターモデル（2QCCA）が、カウンタに対数的空間しか使用しない状態で、非正則なユニナリ言語を、定数サイズの量子レジスタを用いて有界誤差で認識できることを示している。主な貢献は、量子重ね合わせと測定が、UPOWER や USQUARE といった、古典的オートマトンが部分線形のカウンタースペースでは認識できない言語の認識を可能にすることを示したことである。

ABSTRACT

The minimum amount of resources to recognize a nonregular language is a fundamental research topic in theoretical computer science which has been examined for different kinds of resources and many different models. In this note, we focus on unary languages and space complexity on counters. Our model is two-way one-counter automaton with quantum and classical states (2QCCA), which is a two-way finite automaton with one-counter (2DCA) augmented with a fixed size quantum register or a two-way finite automaton with quantum and classical states (2QCFA) augmented with a classical counter. It is known that any 2DCA using a sublinear space on its counter can recognize only regular languages \cite{DG82B}. In this note, we show that bounded-error 2QCCAs can recognize a non-regular unary language by using logarithmic space on its counters for the members. Note that it is still an open problem whether bounded-error 2QCFA can recognize a non-regular unary language.

研究の動機と目的

• 定数サイズの量子レジスタが、ユニナリ言語の認識において、古典的カウンターオートマトンの計算能力を向上させることを調査すること。
• カウンタに対数的空間が与えられた場合、量子状態を組み合わせることで、非正則なユニナリ言語を有界誤差で認識できるかどうかを特定すること。
• 部分線形のカウンタースペースで動作する古典的2方向1カウンターオートマトン（2DCA）が、非正則なユニナリ言語を認識する際の限界を調査すること。
• 2QCCA と 2QCFA、2PFA の能力を比較し、ユニナリ非正則言語の認識において、それぞれのモデルの性能を評価すること。
• 量子アンプリフィケーション（超演算子を用いたもの）により、UPOWER や USQUARE といった、古典的モデルでは認識不可能な言語を認識できることを確立すること。

提案手法

• 古典的2方向有限制御と1カウンタ、定数サイズの量子レジスタを組み合わせた2QCCAモデルを設計すること。
• 超演算子（一般化された量子操作）を用いて、計算中に量子レジスタのユニタリ発展と射影測定を実行すること。
• 入力文字列の長さが完全乗数であるか否かを区別するためのサブルーチン「POWER」を実装し、量子振幅増幅を用いること。
• 入力文字列の各接頭語に対して、POWERサブルーチンを繰り返し適用し、UPOWER = {a^{m^n} | n ≥ 1} のような言語への属性を検証すること。
• 量子測定の結果を用いて確率的に受理または拒否を行い、受理確率は正確に1（メンバーの場合）、拒否確率は非メンバーに対して少なくとも 2k²/(2k²+1) となるようにすること。
• 四平方定理と量子振幅増幅を組み合わせることで、有界誤差のもとで高い信頼性の意思決定を実現すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数サイズの量子レジスタを備えた2方向1カウンターオートマトンは、カウンタに対数的空間しか使用しない状態で、非正則なユニナリ言語を認識できるか？
• RQ2 量子レジスタの追加により、部分線形のカウンタースペースでしか動作しない古典的2DCAモデルの制限を超えて、2QCCAが非正則なユニナリ言語を認識できるか？
• RQ3 量子振幅増幅と超演算子に基づく測定を用いることで、UPOWER や USQUARE といった非正則なユニナリ言語を有界誤差で認識できるか？
• RQ4 ユニナリ非正則言語の認識において、2QCCA と 2QCFA の間には根本的な計算能力の差があるか、特にカウンタが存在する場合にその差が顕在化するか？
• RQ5 指数的または二重指数的増加を示す文字列（例：a^{2^{2^n}}）を、対数的カウンタースペースで有界誤差で認識できるか？

主な発見

• 有界誤差の2QCCAは、m > 2 の場合、カウンタに対数的空間しか使用しない状態で、非正則なユニナリ言語 UPOWER = {a^{m^n} | n ≥ 1} を認識できる。
• USQUARE = {a^{n²} | n ≥ 1} は、2QCCA によってメンバーに対して正確に受理され、非メンバーに対しては拒否確率が少なくとも 2k²/(2k²+1) となる。
• 任意の入力 w = a^m に対して、カウンタ値は log(|w|) を超えないことから、UPOWER や関連言語のメンバーに対する対数的空間複雑度が確認される。
• 2QCCAモデルは、p が正の多項式で m > 2 のとき、POLY(p)、POWER(m)、POLY-POWER(p,m) といった言語を有界誤差で認識できる。
• 量子超演算子の使用により、非メンバーに対する拒否確率が受理確率の k² 倍以上となる。k を大きくすることで、誤差境界を0に限りなく近づけることができる。
• 上記のすべての言語は、2QCCAによってメンバーに対して正確に受理され、非メンバーに対しては高確率で拒否され、古典的モデルに比べて明確な計算上の優位性を示している。