[論文レビュー] Logarithmic bounds for ergodic sums of certain flows on the torus: a short proof

Jérôme Carrand|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元トーラス上の特定のC1フローについて、ポincare再帰写像の回転数が定数型であるとき、C1観測可能量のエルゴード的和が高々対数的に増大することを簡潔に証明する。Birkhoff和への変換とDenjoy-Koksma不等式の応用により、対数的上界が確立され、漸近的挙動における逸脱の不在が示される。結果はGiulietti-Liveraniフローを越えて非最小系を含む、より広いクラスのフローに拡張され、エルゴード的和が制御可能であることを示している。

ABSTRACT

We give a short proof that the ergodic sums of $\mathcal{C}^1$ observables for a $\mathcal{C}^1$ flow on $\mathbb{T}^2$ admitting a closed transversal curve whose Poincar\'e map has constant type rotation number have growth deviating at most logarithmically from a linear one. For this, we relate the latter integral to the Birkhoff sum of a well-chosen observable on the circle and use the Denjoy-Koksma inequality. We also give an example of a nonminimal flow satisfying the above assumptions.

研究の動機と目的

• 2次元トーラス上のC1フローの軌道に沿ったC1観測可能量のエルゴード的和に対して、対数的上界を確立すること。
• 最小性の仮定を緩和することで、Giulietti-Liveraniフローの設定を越えて一般化すること。
• 定数型回転数の条件下で、平均がゼロのC1観測可能量のエルゴード的積分が高々対数的に増大することを証明すること。
• 閉じた横断曲線を有し、定数型回転数を持つ非最小的フローの明示的例を構成し、そのクラスが以前に研究されたものより厳密に大きいことを示すこと。

提案手法

• 軌道の最初の再帰写像を用いて、トーラス上のエルゴード的積分を円周上のBirkhoff和に帰着する。
• 再帰時間の積分を用いて、円周上に転送観測可能量gを定義し、再帰時間関数の滑らかさを活用する。
• 定数型回転数を有する円周微分同相写像に対して、Denjoy-Koksma不等式を適用し、gのBirkhoff和を上界で制御する。
• 定数型数の連分数構造を用いて再帰時間の近似を制御し、対数的推定を得る。
• Poincaré写像と定数型回転との間の半同相写像を構成し、回転数と非最小性を確認する。
• Hartman-Grobman定理と安定foliationの性質を用いて、フローの力学的挙動と不変集合を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Anosov微分同相写像から生じるフローのクラスを越えて、エルゴード的和に対して対数的上界を確立できるか？
• RQ2 Poincaré写像の回転数が定数型であるとき、C1観測可能量のエルゴード的和の正確な増大率は何か？
• RQ3 閉じた横断曲線と定数型回転数を持つ非最小的C1フローをT2上に構成可能か？
• RQ4 無理数回転数を有する懸垂フローの文脈において、Denjoy-Koksma不等式はエルゴード的積分にどのように適用可能か？

主な発見

• 任意の平均ゼロのC1観測可能量のエルゴード的積分は、初期点に一様に依存せず、時間に対して高々対数的に増大する。
• 上界は |Hx,T(f)| ≤ K1||f||C1 log(1 + T) + K2||f||C1 の形をとり、K1とK2はフローと回転数にのみ依存する。
• 証明により、エルゴード的積分の漸近的展開における逸脱が存在しないことが示され、BaladiとForniの結果と整合的である。
• 閉じた横断曲線を有し、定数型回転数であり、周期軌道をもたないという主要仮定を満たす非最小的C1フローが明示的に構成された。
• 構成されたフローには、前向きおよび後向き時間において吸引的である最小不変集合Kが存在し、それには一意な不変測度が存在する。
• 幾何的および力学的議論（上への持ち上げと交点）を用いて、Poincaré写像の回転数が二次的整数（したがって定数型）であることが示された。