[論文レビュー] Logarithmic Bundles Of Hypersurface Arrangements In P^n

Elena Angelini|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbf{P}^n$ 内の超曲面配置の対数バンドルに対して長さ 1 の分解を確立し、すべての超曲面が同じ次数 $d$ を持ち、$` \ell \geq \binom{n+d}{d} + 3$ であるとき、配置の Torelli 型再構成を可能にする。このような配置が Torelli であるための条件を、Veronese 変換された成分が満たす特定の条件に基づいて証明し、2次曲面のペアについて完全な分類を提供する：2 つのペアが同型な対数バンドルを持つのは、それらが同じ接超平面を共有するときである。

ABSTRACT

Let D = {D_{1},...,D_{l}} be an arrangement of smooth hypersurfaces with normal crossings on the complex projective space P^n and let Ω^{1}_{P^n}(log D) be the logarithmic bundle attached to it. Following [1], we show that Ω^{1}_{P^n}(log D) admits a resolution of lenght 1 which explicitly depends on the degrees and on the equations of D_{1},...,D_{l}. Then we prove a Torelli type theorem when all the D_{i}'s have the same degree d and l >= {{n+d} \choose {d}}+3: indeed, we recover the components of D as unstable smooth hypersurfaces of Ω^{1}_{P^n}(log D). Finally we analyze the cases of one quadric and a pair of quadrics, which yield examples of non-Torelli arrangements. In particular, through a duality argument, we prove that two pairs of quadrics have isomorphic logarithmic bundles if and only if they have the same tangent hyperplanes.

研究の動機と目的

• 超曲面配置の正則交差をもつ対数バンドル $\Omega^1_{\mathbf{P}^n}(\log\mathcal{D})$ に対して長さ 1 の分解を確立すること。
• 対数バンドルの Torelli 問題を調査すること、具体的には配置 $\mathcal{D}$ が $\Omega^1_{\mathbf{P}^n}(\log\mathcal{D})$ から再構成可能かどうかを問うこと。
• 特に 1 つまたは 2 つの 2 次曲面に対して、非 Torelli 配置を分類し、対数バンドルが同型となる条件を同定すること。
• 双対性に基づくアプローチを用いて、既知の超平面配置に関する結果を高次超曲面へ拡張すること。
• 双対空間における接超平面を用いて、2 次曲面ペアの対数バンドルの同型類を特徴付けること。

提案手法

• 超曲面 $D_1, \ldots, D_\ell$ の次数と定義方程式を用いて、$\Omega^1_{\mathbf{P}^n}(\log\mathcal{D})$ の長さ 1 の分解を構成する。
• この分解を用いて、超平面配置に対する既知の結果を再導出し、Dolgachev–Kapranov および Vallès の先行研究と整合性を確認する。
• 超平面の場合の不安定な超平面を一般化した「不安定な超曲面」の概念を用い、対数バンドルから $\mathcal{D}$ の成分を再構成する。
• 次数 $d$ の Veronese 埋め込みを用いて、超曲面を $\mathbf{P}^{\binom{n+d}{d}-1}$ 内の点に写像し、線形系の観点から配置を研究可能にする。
• 同時対角化と双対性を用いて 2 次曲面のペアを分析し、同型問題を双対射影空間内の双対 2 次曲面の比較に還元する。
• 特に 2 次曲面ペアに対して、2 つの対数バンドルが同型となる条件を明示的な代数的条件（例えば、式 (45)–(48)）で導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $`\mathbf{P}^n$ 内の超曲面配置 $\mathcal{D}$ の成分が、対数バンドル $\Omega^1_{\mathbf{P}^n}(\log\mathcal{D})$ からいつ再構成可能か。
• RQ2 対数バンドル $\Omega^1_{\mathbf{P}^n}(\log\mathcal{D})$ が配置 $\mathcal{D}$ を同型類の意味で一意に特定できるのはいつか（すなわち、$\mathcal{D}$ が Torelli 配置であるのはいつか）。
• RQ3 $\ell$ 個の同じ次数 $d$ の滑らかなかつ正則交差をもつ超曲面からなる配置に対して、$\mathcal{D}$ が Torelli となる最小の $\ell$ は何か。また、例外的な場合とは何か。
• RQ4 $`\mathbf{P}^n$ 内の 2 つの滑らかな 2 次曲面のペアが、同型な対数バンドルをもつのはいつか。
• RQ5 2 つの 2 次曲面の接超平面は、それらの対数バンドルの同型類とどのように関係しているか。

主な発見

• 対数バンドル $\Omega^1_{\mathbf{P}^n}(\log\mathcal{D})$ は、超曲面 $D_1, \ldots, D_\ell$ の次数と方程式に明示的に依存する長さ 1 の分解をもつ。
• $\ell \geq \binom{n+d}{d} + 3$ 個の同じ次数 $d$ の超曲面からなる配置に対して、$\mathcal{D}$ の成分は $\Omega^1_{\mathbf{P}^n}(\log\mathcal{D})$ の不安定な超曲面として回復可能であるが、Veronese 埋め込みに関連する特別な場合を除く。
• 1 つの 2 次曲面では Torelli 配置にならない。なぜなら、対数バンドルが 2 次曲面を一意に特定しないからである。
• 2 次曲面のペアに対しては、$\Omega^1_{\mathbf{P}^n}(\log\mathcal{D}_1) \cong \Omega^1_{\mathbf{P}^n}(\log\mathcal{D}_2)$ となるのは、2 つのペアが同じ接超平面をもつときである。
• 2 次曲面ペアの対数バンドルの同型類は、双対射影空間内でのそれらの共通接超平面の配置によって完全に決定される。
• $\mathbf{P}^2$ 内の 2 次曲面ペアの正規化された対数バンドルのモジュライ空間の次元は、4 条の直線（接超平面）を指定するのに必要なパrameter の数に等しく、接超平面による分類が確認された。