[論文レビュー] Logarithmic Correlations in Quenched Random Magnets and Polymers

John Cardy|ArXiv.org|Nov 3, 1999

Theoretical and Computational Physics被引用数 56

ひとこと要約

この論文は、ランダムスピン系やポリマーなどのクエンチドランダム系において、n→0極限におけるレプリカまたはO(n)モデルから生じる非ユニタリな conformal field theory (CFT) に起因して、べき乗則スケーリングの対数補正が一般に予想されることを示している。主な結果は、スケーリング次元が簡約され、演算子積展開 (OPE) の係数が発散する場合に対数項が出現することであり、特に分配関数がゼロになる理論 (Z=1) において顕著に現れ、2点関数および高次相関関数に影響を及ぼす。

ABSTRACT

It is argued that logarithmic factors multiplying power law behavior are to be expected at or near non-mean field critical points of systems with short-range interactions described theoretically by any kind of n -> 0 limit, in which the effective free energy vanishes. Explicit examples are given for quenched random ferromagnets, polymer statistics and percolation, but the phenomenon is quite general.

研究の動機と目的

• クエンチドディスオーダーまたはゼロ次元の分配関数を有する臨界系における対数補正の起源を説明すること。
• このような対数項が、ランダムフェリオマグネティズムや自己回避ポリマーを含むn→0極限を持つモデルにおいて、偶然ではなく一般に生じることを示すこと。
• これらの補正が、非ユニタリCFTにおけるスケーリング次元の簡約および発散するOPE係数に起因することを示すこと。
• 対数的挙動が2点関数および高次相関関数の両方で現れることを確立すること、特に4点関数において顕著である。

提案手法

• ディスオーダー平均をn個のレプリカに置き換えることで、クエンチドランダム系を分析するレプリカ形式を用いる。
• 純粋固定点の近くで摂動的 renormalization group (RG) 技法を適用し、ディスオーダー結合定数を小さなパラメータとして扱う。
• レプリカ場を置換群S_nの不可約表現に分解し、スレートおよびトレースレス成分を特定する。
• 特にエネルギー演算子およびストレステンソル演算子に対して、レプリカ理論における演算子積展開 (OPE) を分析する。
• n=0におけるスケーリング次元の簡約および発散するOPE係数が、対数項の原因であることを同定する。
• 任意のd次元で有効な conformal field theory (CFT) 技法を用い、OPE構造および中心電荷c=0を含む、対数補正を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜクエンチドディスオーダーを有する臨界系、例えばランダム磁性体やポリマーにおいて対数補正が現れるのか？
• RQ2 n→0極限が、対数的演算子を支持する非ユニタリCFTをどのように導くのか？
• RQ3 簡約されたスケーリング次元および発散するOPE係数が、対数項を生成する役割を果たすのはなぜか？
• RQ4 なぜ対数補正は2点関数よりも高次相関関数において顕著に現れるのか？
• RQ5 分配関数がゼロになる (Z=1) ことによって、臨界挙動における対数スケーリングがどのように生じるのか？

主な発見

• Z=1固定点理論によって記述される臨界系、例えばクエンチドランダム磁性体や自己回避ポリマーにおいて、対数補正が一般に生じる。
• レプリカ形式において、n=0におけるエネルギー演算子E_aとそのトレースレス成分Ẽ_aのスケーリング次元の簡約が、2点関数における対数補正を引き起こす。
• エネルギー演算子のスケーリング次元シフトはx_E(n) = x_E^0 + (1/2)(1−n)y_g + O(y_g^2)で与えられ、n=0における簡約が対数的挙動を生じる。
• O(n)モデルにおいて、交差ループペアの数はc_N ∼ N^{α−3}μ^N ln Nとスケーリングし、α = (d−2x_E)νであることから、ポリマー統計における対数補正が確認される。
• 4点関数において、中心電荷c→0および寄与する簡約された演算子（例：T̃_a）が存在する場合、η^d ln η形式の対数項が現れ、見かけの発散が解消される。
• c→0および有限相関関数のパラドックスは、a_ϕ ∝ cである場合、例えばq=1におけるq状Pottsモデルのように、対数項がc=0であっても消えることによって解消される。