[論文レビュー] Logarithmic enhancements in conformal perturbation theory and their real time interpretation

David Berenstein, Alexandra Miller|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2016

Mathematical functions and polynomials被引用数 4

ひとこと要約

本稿は次元正則化を用いて共形摂動理論における対数発散の起源を調査し、それが円筒上での時間に依存する摂動理論における共鳴的挙動に起因することを示している。時間発展における物理的共鳴と関連づけることで、平面におけるUV/IR発散を時間的な解釈に結びつける。

ABSTRACT

We study various corrections of correlation functions to leading order in conformal perturbation theory, both on the cylinder and on the plane. Many problems on the cylinder are mathematically equivalent to those in the plane if we give the perturbations a position dependent scaling profile. The integrals to be done are then similar to the study of correlation functions with one additional insertion at the center of the profile. We will be primarily interested in the divergence structure of these corrections when computed in dimensional regularization. In particular, we show that the logarithmic divergences (enhancements) that show up in the plane under these circumstances can be understood in terms of resonant behavior in time dependent perturbation theory, for a transition between states that is induced by an oscillatory perturbation on the cylinder.

研究の動機と目的

• 標準的なUV/IR正則化を超えて、共形摂動理論における対数発散の起源を理解すること。
• 平面における相関関数の発散を、円筒上での時間に依存する摂動理論における共鳴遷移に関連付けること。
• 次元正則化およびシュヴィンガー媒介変数法を用いて、対数的増幅の時間的物理的解釈を提供すること。
• 時空次元 d を変化させながら演算子次元を固定することで、CFTにおける次元正則化の一般化を図ること。
• Weylスケーリングおよび位置依存変形を用いて、平面における発散と時間発展における共鳴挙動との間の対応関係を確立すること。

提案手法

• 演算子次元 h_D を固定し、時空次元 d を変化させることで、相関関数における発散を正則化する次元正則化を用いる。
• Weylスケーリングを適用して、平面から円筒への相関関数の写像を行い、位置依存スケーリング因子を導入することで、インフラレッド正則化を実現する。
• 振動する摂動を持つ三点関数の積分を評価するために、シュヴィンガー媒介変数表現を用いる。
• 変数変換およびガンマ関数の恒等式を用いて、積分を修正ベッセル関数 K_ν を含む形に変換する。
• 分母における逆変数の和を扱うために、第4のシュヴィンガー媒介変数を導入し、発散構造の抽出を可能にする。
• 積分の指数因子を分析して、時間発展における共鳴的挙動を示す周波数依存項を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 演算子次元を固定した状態で次元正則化を用いた場合、共形摂動理論における対数発散はどのような原因で生じるか？
• RQ2 平面における発散は、円筒上での時間に依存する摂動理論における物理的共鳴挙動とどのように関係するか？
• RQ3 振動する摂動によって引き起こされる時間的発散（共鳴的増幅）として、相関関数の発散構造を解釈できるか？
• RQ4 時空依存変形 f(x) = |x|^{h_D - d} はどのようにインフラレッド発散を正則化し、円筒幾何の模倣を達成するか？
• RQ5 修正ベッセル関数 K_ν は、積分の周波数依存発散構造をどのように符号化しているか？

主な発見

• 共形摂動理論における対数発散は、演算子次元と時空次元 d が特別な値をとった際にガンマ関数の極が生じることに起因する。
• 平面における発散は、振動する摂動が時間発展に共鳴的増幅を引き起こす円筒上での時間に依存する摂動理論における共鳴遷移と等価である。
• 位置依存変形 f(x) = |x|^{h_D - d} はインフラレッド正則化を提供し、平面から円筒への写像を模倣するWeylスケーリングを再現する。
• 積分構造は、周波数依存性が引数および次数 ν に符号化された修正ベッセル関数 K_ν を含む形に簡略化される。
• 発散構造は周波数差 ω_ij に依存する指数因子によって完全に記述され、周波数が一致する際に共鳴的挙動を示す。
• 積分の最終的表現は、Ω_j^2 = (ω_k - ω_l)^2 を通じて周波数差に明示的な依存性を示しており、対数的増幅の共鳴的起源を確認する。