[論文レビュー] Logarithmic Foliations

Dominique Cerveau, Alcides Lins Neto|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特異点が厳密に通常のものである超曲面に沿った極を持つ閉対数形式を用いて、射影空間上の任意の余次元をもつ正則的 foliation を研究し、そのような極付きの閉対数 $p$-形式の標準形を確立する。主な結果は、成分の数と余次元に関する条件下で、このような形式が、対数1-形式 $\frac{df_i}{f_i}$ の外積の和（係数 $\lambda_I$ を持つ）と、正確な項に分解されることを示している。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study singular holomorphic foliations of arbitrary codimension defined by logarithmic forms on projective spaces.

研究の動機と目的

• 閉正則 $1$-形式の標準形を、複素多様体上の高次元対数 $p$-形式（$p \geq 2$）に一般化すること。
• 原点を除く場所で厳密に通常の特異点を持つ超曲面に沿った極付きの閉対数 $p$-形式の構造を特徴づけること。
• このような $p$-形式が正確であるか、または係数 $\lambda_I$ を持つ分解をもつ条件を確立すること。
• コhomology的技法と特異点の解消を用いて、$1$-形式の場合の結果を高余次元に拡張すること。
• 孤立特異点をもつ解析的集合上で微分形式の拡張定理を証明すること。Leray および Cartan の定理を用いる。

提案手法

• 特異点が厳密に通常のものである超曲面（s.o.s.）の概念を導入する。これは、すべての交わり $\{f_{i_1}=\cdots=f_{i_k}=0\}$ が原点を除いて滑らかであるような、正則関数 $f_j$ によって定義される。
• 原点近傍の局所座標を用いて、形式 $\eta$ を $\frac{df_i}{f_i}$ の形に表現し、$p$-トーラス $T_\epsilon^p$ を用いた留数積分を可能にする。
• コンpakトなケーラー多様体上での閉対数形式に関する Deligne の定理を適用し、交差が正常である場合に $\eta$ が閉じていることを示す。
• Leray および Cartan の定理を用いたコhomology的消失と帰納法を用いて、原点を除いた解析的集合から全近傍への形式の拡張を証明する。
• 形式を射影空間に射影するための内部積 $i_R$ を用い、斉次座標と整合性を保つ。
• $\delta$-複体と Čech コhomology を用いて、$H^k(\mathcal{U}, \Omega^\ell)$ の消失を分析し、拡張結果に不可欠な役割を果たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極が s.o.s. 超曲面に沿った閉対数 $p$-形式が、$\frac{df_{i_1}}{f_{i_1}} \wedge \cdots \wedge \frac{df_{i_p}}{f_{i_p}}$ の線形結合として表される条件は何か？
• RQ2 このような形式が正確であるのはいつか？また、$\eta = \sum \lambda_I \cdot \frac{df_{i_1}}{f_{i_1}} \wedge \cdots \wedge \frac{df_{i_p}}{f_{i_p}} + d\Theta$ の形で表されるとき、潜在関数 $\Theta$ の構造は何か？
• RQ3 数値的留数 $\lambda_I$ は極の除集合の位相的性質とどのように関係するか？また、$p$-トーラス上での積分により計算可能か？
• RQ4 どのようなコhomology的条件が、原点を除いた解析的集合上で定義された対数形式が全近傍に拡張可能であることを保証するか？
• RQ5 余次元 $n - p$ と成分数 $r$ は、形式の分解を決定づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• $n \geq p+2$ かつ $r < p$ のとき、極が s.o.s. 超曲面に沿った任意の閉対数 $p$-形式 $\eta$ は正確である：$\eta = d\Theta$ であり、$\Theta$ は対数的で非閉である。
• $r \geq p$ のとき、$\eta$ は $\eta = \sum_{I \in \mathcal{S}_r^p} \lambda_I \cdot \frac{df_{i_1}}{f_{i_1}} \wedge \cdots \wedge \frac{df_{i_p}}{f_{i_p}} + d\Theta$ の形に分解可能であり、$\lambda_I \in \mathbb{C}$ は数値的留数である。
• 留数 $\lambda_I$ は積分 $\lambda_I = \frac{1}{(2\pi i)^p} \int_{T_\epsilon^p} \eta$ により計算され、$T_\epsilon^p$ は $\{f_{i_1} = \cdots = f_{i_p} = 0\} \setminus \{0\}$ のまわりの $p$-トーラスである。
• $\mathbb{P}^n$ の場合、極の除集合が原点を除いて s.o.s. であり、$r \geq p+1$ ならば、$\eta$ は $\frac{df_i}{f_i}$ の外積の線形結合であり、正確な項は存在せず、$i_R \eta = 0$ が成り立つ。
• $\ell \leq k - 2$（$k = \dim X$）のとき、原点を除いた集合 $X \setminus \{0\}$ から全近傍への対数形式の拡張は、帰納法とコhomology的消失により保証される。
• $H^k(\mathcal{U}, \Omega^\ell)$ のコhomology群は $k \geq 1$ かつ $k + \ell \leq r$ のとき消失し、$\delta$-複体と Leray の定理を用いて閉形式の拡張が可能になる。