[論文レビュー] Logarithmic Gromov-Witten theory and double ramification cycles

Dhruv Ranganathan, Ajith Urundolil Kumaran|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2022

Geometric and Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、完全なトーリック境界に関するトーリック多様体の対数的グロモフ＝ウイッテンサイクルが、曲線のモジュライ空間の対数的チャウ環のタウトロジカル部分環に属することを確立する。著者らは、幾何的データを記述するために区分的多項式関数を用いることで、対数的仮想局在化公式への依存を避ける、安定写像を対数的代数的トーラスにとおすという革新的な技法を導入し、これらのサイクルが二重分岐サイクルとタウトロジカルクラスの積に分解されることを示す。

ABSTRACT

Abstract We examine the logarithmic Gromov–Witten cycles of a toric variety relative to its full toric boundary. The cycles are expressed as products of double ramification cycles and natural tautological classes in the logarithmic Chow ring of the moduli space of curves. We introduce a simple new technique that relates the Gromov–Witten cycles of rigid and rubber geometries; the technique is based on a study of maps to the logarithmic algebraic torus. By combining this with recent work on logarithmic double ramification cycles, we deduce that all logarithmic Gromov–Witten pushforwards, for maps to a toric variety relative to its full toric boundary, lie in the tautological ring of the moduli space of curves. A feature of the approach is that it avoids the as yet undeveloped logarithmic virtual localization formula, instead relying directly on piecewise polynomial functions to capture the structure that would be provided by such a formula. The results give a common generalization of work of Faber and Pandharipande, and more recent work of Holmes and Schwarz as well as Molcho and Ranganathan. The proof passes through general structure results on the space of stable maps to the logarithmic algebraic torus, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 完全なトーリック境界に関するトーリック多様体の対数的グロモフ＝ウイッテン不変量が、Mg,n の対数的チャウ環のタウトロジカル部分環に属することを確立すること。
• 対数的グロモフ＝ウイッテン理論における剛体的・ラバーモデルの幾何を結ぶために、対数的代数的トーラスへの写像を用いた新しい手法を開発すること。
• まだ整備されていない対数的仮想局在化公式に依存しないように、幾何的構造を直接記述するために区分的多項式関数を用いること。
• ファーバー＝パンダリパーンデ、ホルムズ＝シュバルツ、モルチョ＝ラングァナサンの結果を、対数的グロモフ＝ウイッテン理論の文脈で一般化・統一すること。
• 評価空間とトロピカル幾何を用いて、対数的GW不変量のタウトロジカル性を理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 安定写像の対数的代数的トーラスへの空間を導入・研究し、中心的な技術的道具とする。
• マークド点における接触次数に対応する、トーリック多様体のストラタの積として評価空間を定義する。
• トロピカルモジュライ空間上の区分的多項式関数を用いて、対数的チャウ環内のタウトロジカルクラスを表現する。
• 対数的安定写像のモジュライ空間から対数的トーラスへの写像を構成し、剛体的・ラバーモデルの幾何を結びつける。
• 最近得られた対数的二重分岐サイクルに関する結果を活用し、対数的GWサイクルがDRサイクルと自然なタウトロジカルクラスの積として表現されることを示す。
• トロピカル交線論を適用して、特にヒューリッツ数に関連するランク1の場合の、トロピカル曲線のモジュライ空間上で区分的多項式を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数的トーリックペアの対数的グロモフ＝ウイッテンサイクルは、既知のタウトロジカルクラスの何らかの形で表現できるか？
• RQ2 対数的仮想局在化公式を用いずに、対数的GWサイクルの構造を捉えることは可能か？
• RQ3 対数的代数的トーラスは、対数的グロモフ＝ウイッテン理論における剛体的・ラバーモデルの幾何を結ぶ役割を果たすか？
• RQ4 トロピカルモジュライ空間上の区分的多項式関数は、対数的GW不変量のタウトロジカル性をどの程度正確に記述できるか？
• RQ5 ランク1の場合に、対数的二重分岐サイクルは、ヒューリッツ数などの古典的不変量とどのように関係するか？

主な発見

• すべての一次対数的グロモフ＝ウイッテンサイクル（X, D）は、対数的チャウ環 logCH⋆(Mg,n) のタウトロジカル部分環に属する。
• これらのサイクルの標準的チャウ環 CH⋆(Mg,n) への押し出しも、タウトロジカル部分環に属する。これは、以前の結果を一般化する。
• 著者らは、対数的仮想局在化公式への依存を避ける、安定写像を対数的代数的トーラスにとおすという新しい技法を構築した。
• 対数的GWサイクルが、対数的チャウ環内での二重分岐サイクルと自然なタウトロジカルクラスの積に分解されることを示した。
• ランク1の場合、この手法により、対数的二重分岐サイクルと区分的多項式クラスの交線として古典的ヒューリッツ数が回復される。
• トロピカルモジュライ空間 Mtrop_0,11 上の区分的多項式 γrub は、1つの8次元錐上で値1をとり、交線数が1に一致する。これは、トロピカル交線論と整合的である。