[論文レビュー] Logarithmic Jet Bundles and Applications

Gerd-Eberhard Dethloff, Steven Lu|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 44

ひとこと要約

本稿は、Demaillyの射影的ジェットバンドルおよび厳密に負の曲率を持つ擬計量の構成を対数的設定に拡張し、準射影的多様体における双曲的性の計量的アプローチを可能にする。対数的Ahlfors補題およびBig Picard定理を確立し、値分布論に依存しない新規で直接的な方法により、半アーベル多様体におけるLang予想の証明を提供する。従来の次数の上限を改善する。

ABSTRACT

We generalize Demailly's construction of projective jet bundles and strictly negatively curved pseudometrics on them to the logarithmic case. We establish this logarithmic generalization explicitly via coordinates, just as Noguchi's generalization of the jets used by Green-Griffiths. As a first application, we give a metric proof for the logarithmic version of Lang's conjecture concerning the hyperbolicity of complements of divisors in a semi-abelian variety as well as for the corresponding big Picard theorem.

研究の動機と目的

• 準射影的多様体におけるDemaillyの射影的ジェットバンドルおよび負曲率を持つ擬計量の構成を、対数的状況に一般化すること。
• 値分布論に依存しない、準射影的多様体における双曲的性の直接的な計量的アプローチを提供すること。
• 半アーベル多様体におけるLang予想を、対数的ジェット計量を用いて証明し、新規な証明法を提示すること。
• 非正規交叉の除数や複数の対数的構造を含む、対数的幾何における技術的課題に対処すること。
• 射影的ジェットバンドルに対して、対数的Ahlfors補題およびBig Picard定理の対数的版を確立すること。

提案手法

• 局所座標を用いて、Demaillyの非対数的構成を一般化し、対数的射影的ジェットバンドルを明示的に構成する。
• 対数的射影的ジェットバンドル上の切断に対して微分幾何的構造を扱うためのd作用素を導入する。
• 除数に沿った所定の接続条件を満たす正則曲線の同値類として、対数的ジェットバンドルを定義する。
• 対数的ジェット空間に適応された、Demaillyの擬計量構成の修正版を用い、負曲率を保証する。
• 基本的領域を制御し、主要な線型系において非自明な切断の存在を保証するために、補題6.1およびその強化版（補題6.2）を適用する。
• アーベル多様体上のシータ関数を活用し、Noguchiの結果を引用することで、半アーベル多様体上に特別なジェット微分形式を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Demaillyの射影的ジェットバンドルおよび擬計量の構成は、準射影的多様体における対数的状況に一般化可能か？
• RQ2 半アーベル多様体における双曲的性の証明において、値分布論に代わる計量的アプローチは可能か？
• RQ3 特に正規交叉型でない除数に対して、対数的ジェットバンドルはどのように振る舞うか？
• RQ4 半アーベル多様体の境界から来る1つの対数的構造と、任意の単純な除数から来る1つの対数的構造との間の正確な関係は何か？
• RQ5 この一般化された枠組みにおいて、対数的Ahlfors補題およびBig Picard定理を確立できるか？

主な発見

• 本稿は、Demaillyの射影的ジェットバンドルおよび厳密に負の曲率を持つ擬計量の構成を、対数的状況に成功裏に一般化し、明示的な座標に基づくフレームワークを提供した。
• 対数的射影的ジェットバンドルに対して、対数的Ahlfors補題およびBig Picard定理の版が確立された。
• 本手法により、値分布論に依存しない、半アーベル多様体におけるLang予想の計量的証明が得られ、シータ関数から構成されたジェット微分形式が用いられた。
• 非正規交叉の除数や複数の対数的構造を含む技術的課題に対して、基本的領域および切断論の精密な解析を通じて、著者らは克服した。
• 本構成により、次数の上限が改善された：El Goulはこの手法を用いて、P^3 内の一般な表面の双曲的性の次数上限を21から15に低下させた。
• 補題6.2は、非常に非常に ample なHに対して、|m₀L - H| の基本的領域が安定基本的領域S_Lに等しく、E_{m₀L} = S_L = Bs|m₀L - H| であることを示しており、基本的領域の鋭い制御を可能にしている。