[論文レビュー] Logarithmic Riemann-Hilbert correspondences for rigid varieties

Hansheng Diao, Kai‐Wen Lan+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2018

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、p進局所体上の滑らかなrigid多様体に対してp進Riemann-Hilbert対応を構成し、de Rham p進エタール局所系統から、Griffiths横断性を満たすフィルター付き代数的ベクトル束と可積分接続を持つテンソル関手を確立する。主な貢献は、留数固有値によって特徴づけられる、対数的極をもつコンパクト化への接続の正規拡張であり、Shimura多様体上で古典的Riemann-Hilbert対応と整合することを示している。

ABSTRACT

On any smooth algebraic variety over a $p$-adic local field, we construct a tensor functor from the category of de Rham $p$-adic étale local systems to the category of filtered algebraic vector bundles with integrable connections satisfying the Griffiths transversality, which we view as a $p$-adic analogue of Deligne's classical Riemann--Hilbert correspondence. A crucial step is to construct canonical extensions of the desired connections to suitable compactifications of the algebraic variety with logarithmic poles along the boundary, in a precise sense characterized by the eigenvalues of residues; hence the title of the paper. As an application, we show that this $p$-adic Riemann--Hilbert functor is compatible with the classical one over all Shimura varieties, for local systems attached to representations of the associated reductive algebraic groups.

研究の動機と目的

• p進局所体上の滑らかな代数的多様体に対して、Deligneの古典的Riemann-Hilbert対応のp進類似を確立すること。
• de Rham p進エタール局所系統から、Griffiths横断性を満たすフィルター付き代数的ベクトル束と可積分接続を持つテンソル関手を構成すること。
• この関手が、Galois-equivariantな比較同型を介してShimura多様体上で古典的Riemann-Hilbert対応と整合することを証明すること。
• 対数的極をもつコンパクト化への接続の正規拡張理論を発展させ、留数固有値によって特徴づけること。
• Fontaineの周期環 $B_{\text{dR}}$ を通じて、p進エタールコホモロジーと代数的de Rhamコホモロジーを比較する枠組みを提供すること。

提案手法

• de Rham p進エタール局所系統から、Griffiths横断性を満たすフィルター付き代数的ベクトル束と可積分接続を持つテンソル関手 $D_{\text{dR}}^\text{alg}$ を構成する。
• 特に $\mathcal{O}\mathbb{B}_{\text{dR},\log}$ を用いて、p進設定におけるde Rham条件を対数的アディック空間と周期層を用いて定義する。
• 対数的極をもつコンパクト化への接続の正規拡張を確立し、その拡張は留数固有値によって一意に定まる。
• 逆極限のコホモロジー群を扱うためにdecompletionの形式的論法を用い、周期環上の $\Gamma$-作用を介してコホモロジー的整合性を証明する。
• フィルター付き対数接続の理論（$B_{\text{dR}}$ に相対的）を用いて、像のカテゴリを定義し、フィルターとの整合性を保証する。
• Galoisモジュールとしての比較同型 $H^i_{\text{ét}}(X_{\overline{k}},\mathbb{L})\otimes_{\mathbb{Q}_p} B_{\text{dR}} \cong H^i_{\text{dR}}(X,D_{\text{dR}}^{\text{alg}}(\mathbb{L}))\otimes_k B_{\text{dR}}$ が、フィルターと整合するように証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、p進体上の多様体に対してDeligneの古典的Riemann-Hilbert対応を一般化したp進Riemann-Hilbert対応を構成できるか？
• RQ2 p進設定において、de Rham p進局所系統を写像する適切なフィルター付き接続のカテゴリは何か？
• RQ3 接続はどのようにして、対数的極をもつコンパクト化へ正規的に拡張できるか？ また、留数固有値はこの拡張において果たす役割は何か？
• RQ4 提案されたp進Riemann-Hilbert関手は、Shimura多様体上で古典的対応と整合するか？
• RQ5 $B_{\text{dR}}$ を通じて、Galois-equivariantな比較同型をエタールコホモロジーとde Rhamコホモロジーの間で確立できるか？

主な発見

• 本稿は、de Rham p進エタール局所系統から、Griffiths横断性を満たすフィルター付き代数的ベクトル束と可積分接続を持つテンソル関手 $D_{\text{dR}}^{\text{alg}}$ を構成する。
• この関手は、$B_{\text{dR}}$ を用いたGalois-equivariantな比較同型によって、Shimura多様体上で古典的Riemann-Hilbert対応と整合することが示された。
• $D_{\text{dR}}^{\text{alg}}$ の像にある接続は、対数的極をもつコンパクト化へ正規拡張可能であり、その拡張は留数の固有値によって一意に定まる。
• 比較同型 $H^i_{\text{ét}}(X_{\overline{k}},\mathbb{L})\otimes_{\mathbb{Q}_p} B_{\text{dR}} \cong H^i_{\text{dR}}(X,D_{\text{dR}}^{\text{alg}}(\mathbb{L}))\otimes_k B_{\text{dR}}$ は、正規化されたフィルターとGalois作用と両方と整合することが示された。
• decompletionの形式的論法を用いて、$(\{\mathbb{B}_{r,m}\}_{m\geq 1},\widehat{\mathbb{B}}_{r,\infty},\Gamma)$ がdecompletionシステムであることを証明し、$\widehat{\mathbb{B}}_{r,\infty}$ 上の有限生成自由加群の良いモデルの存在を保証した。
• この手法は、$\xi$ の冪零性を用いた再帰的議論により、コホモロジーのチェインを上げるのを基にし、ノルムの上限が $|\varpi|^{-1}$ とコホモロジー次元に依存する定数によって制御される。