[論文レビュー] Logarithmical Blow-up Criteria for the Nematic Liquid Crystal Flows

Qiao Liu, Jihong Zhao|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2次元および3次元におけるネマチック液晶流れ系の局所的古典的解について、対数的 blown-up 準拠を確立する。トリベル・リゾルキン空間および同次ベソフ空間における臨界ノルムの増大を分析することにより、有限時刻での爆発が、回転速度、配向場の勾配、および速度勾配の特定の対数的重み付き積分が時間とともに発散する場合にかつその場合に限り発生することを証明する。

ABSTRACT

We investigate the blow-up criterion for the local in time classical solution of the nematic liquid crystal flows in dimension two and three. More precisely, $0

研究の動機と目的

• ネマチック液晶流れ系の局所的古典的解の存在時間の最大区間を特徴付けること。
• 解が有限時刻に特異点を発生させる正確な条件を特定すること。
• 臨界空間ノルムにおける対数的補正を組み込むことによって、既知の blown-up 準拠を拡張すること。
• 特異点の存在下での流体速度、圧力、および分子配向ダイナミクスの相乗作用を分析すること。
• エンドポイント・ベソフ空間ノルムを用いて、2次元および3次元の両方で鋭い基準を確立すること。

提案手法

• エネルギー法および高階ソボレフノルムを用いて、速度場および配向場の事前推定を導出する。
• リトルウッド＝パレー分解および周波数局在化技術を適用して、臨界ノルムの増大を制御する。
• 同次ベソフ空間ノルム $\dot{B}^{0}_{\infty,\infty}$ および $\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}$ を用いて、回転速度および速度勾配の正則性を測定する。
• 臨界ノルムにおける対数的重みを被積分関数に導入し、古典的Serrin型条件を越えた blown-up 準拠を精緻化する。
• エネルギー型推定にグロワールの不等式を適用し、blown-up 条件が成り立たない場合に矛盾を導く。
• 補間不等式およびソボレフ埋め込みを用いて、$\nabla d \odot \nabla d$ および $|\nabla d|^2 d$ を含む非線形項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネマチック液晶流れ系の局所的古典的解が有限時刻に爆発する正確な条件は何か？
• RQ2 回転速度 $\omega$、配向場の勾配 $\nabla d$、および速度勾配 $\nabla u$ のノルムが爆発時刻にどのように影響を与えるか？
• RQ3 臨界空間ノルムにおける対数的補正を組み込むことで、blown-up 準拠を改善できるか？
• RQ4 2次元および3次元系における爆発行動の違いは何か？
• RQ5 解が有限時刻にわたって滑らかに保たれる条件は何か？

主な発見

• n=3 の場合、解は時刻 $T_*$ に爆発する。その必要十分条件は、$\int_0^{T_*} \frac{\|\omega\|_{\dot{B}^0_{\infty,\infty}} + \|\nabla d\|_{\dot{B}^0_{\infty,\infty}}^2}{\sqrt{1 + \ln(e + \|\omega\|_{\dot{B}^0_{\infty,\infty}} + \|\nabla d\|_{\dot{B}^0_{\infty,\infty}})}} \, dt = \infty$ が成り立つことである。
• n=3 の場合、解はまた、$\int_0^{T_*} \frac{\|\nabla u\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}}^2 + \|\nabla d\|_{\dot{B}^0_{\infty,\infty}}^2}{\sqrt{1 + \ln(e + \|\nabla u\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}} + \|\nabla d\|_{\dot{B}^0_{\infty,\infty}})}} \, dt = \infty$ が成り立つ場合にも爆発する。
• n=2 の場合、解は時刻 $T_*$ に爆発する。その必要十分条件は、$\int_0^{T_*} \frac{\|\nabla d\|_{\dot{B}^0_{\infty,\infty}}^2}{\sqrt{1 + \ln(e + \|\nabla d\|_{\dot{B}^0_{\infty,\infty}})}} \, dt = \infty$ が成り立つことである。
• blown-up 準拠は、対数的補正を除去できないという意味で鋭く、最適である。
• 証明は、ベソフ空間における高階エネルギー推定を導出した後、グロワールの不等式を用いた背理法に依存する。
• 結果は、臨界空間ノルムにおける対数的重みを組み込むことで、古典的Serrin型準拠を一般化し、臨界ノルムの限界的性質を反映している。