[論文レビュー] Logic and $\mathrm{C}^*$-algebras: set theoretical dichotomies in the theory of continuous quotients

Alessandro Vignati|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 49被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、集合論的公理—特に連続体仮説（CH）と強制法則（Forcing Axioms）—が、コロナ C*-代数の自己同型群の構造に与える影響を調査する。CHのもとでは、コロナ C*-代数は豊富で定義不能な自己同型群を示す。一方、強制法則のもとでは、その自己同型群は剛性を示し、定義可能な自己同型のみを含む。これにより、モデル理論的および集合論的性質における明確な二分岐が明らかになる。

ABSTRACT

Given a nonunital $\mathrm{C}^*$-algebra $A$ one constructs its corona algebra $\mathcal M(A)/A$. This is the noncommutative analog of the Čech-Stone remainder of a topological space. We analyze the two faces of these algebras: the first one is given assuming CH, and the other one arises when Forcing Axioms are assumed. In their first face, corona $\mathrm{C}^*$-algebras have a large group of automorphisms that includes nondefinable ones. The second face is the Forcing Axiom one; here the automorphism group of a corona $\mathrm{C}^*$-algebra is as rigid as possible, including only definable elements

研究の動機と目的

• 集合論的公理—CH と強制法則—がコロナ C*-代数の自己同型群に与える影響を分析すること。
• CH におけるモデル理論的飽和性と、強制法則が連続商に与える剛性との双対性を確立すること。
• 強制法則のもとで、C*-代数の簡約積の自己同型および同型の持ち上げの存在を調査すること。
• C*-代数のホモーモルフィズムにおけるウラム安定性と、簡約積の同型との関連を探索すること。
• 強制法則のもとで、単位的分離可能核的 C*-代数の簡約積間の同型の剛性に関する予想を提示・検証すること。

提案手法

• CH における飽和性の性質を用いた C*-代数のモデル理論を活用し、コロナ代数の構造を分析する。
• 強制法則を適用して剛性結果を導出し、コロナ代数の自己同型が定義可能で、自明な性質を有することを示す。
• 持ち上げ定理を用いて、簡約積の自己同型を積代数間の ∗-準同型と結びつける。特に AF および UHF 代数の文脈で有効である。
• ウラム安定性の技法を適用し、C*-代数間のほぼ ∗-準同型がいつ均等に実際の ∗-準同型に近いかを分析する。
• 特に単位的分離可能 UHF および AF 代数を対象として、C*-代数の列に対する簡約積 ∏Aₙ/⊕Aₙ の構造を分析する。
• 連続的モデル理論および記述的集合論を用いて、非可換位相における自己同型群と集合論的原理の相互作用を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続体仮説と強制法則の下で、コロナ C*-代数の自己同型群はどのように異なるか？
• RQ2 C*-代数の簡約積の自己同型は、どの程度積代数間の ∗-準同型に持ち上げ可能か？
• RQ3 強制法則のもとで、単位的分離可能 C*-代数の簡約積間の同型は、インデックス集合のほぼ置換と対応する因子間の同型によって誘導されるか？
• RQ4 強制法則のもとで、単位的分離可能単純核的 C*-代数のクラスはウラム安定か？ すなわち、ほぼ ∗-準同型が均等に実際の ∗-準同型に近いかどうかを保証するか？
• RQ5 UHF および AF 代数を超える非可換 C*-代数に対し、コロナ代数の自己同型群の剛性は拡張可能か？

主な発見

• 連続体仮説のもとでは、コロナ C*-代数は豊富な自己同型群を有し、定義不能な自己同型を含む。これは、高いモデル理論的飽和性を示唆する。
• 強制法則のもとでは、コロナ C*-代数の自己同型群は、定義可能な自己同型のみを含み、可能な限り剛性を示す。これは強い構造的制約を示唆する。
• 単位的分離可能 UHF 代数では、簡約積 ∏Aₙ/⊕Aₙ と ∏Bₙ/⊕Bₙ 間の同型が成り立つための必要十分条件は、ℕ におけるほぼ置換 f が存在し、f(n) が定義されるすべての n に対して Aₙ ≅ B_f(n) が成り立つことである。
• 簡約積の自己同型に対する持ち上げ定理は、強制法則のもとで、∏Aₙ/⊕Aₙ のすべての自己同型が ∏Aₙ と ∏Bₙ 間の ∗-準同型に持ち上げられることを示す。
• AF 代数におけるウラム安定性は持ち上げの存在と関連する。もし (Aₙ) が単位的単純分離可能 AF 代数の列であれば、強制法則のもとで、∏Aₙ/⊕Aₙ のすべての自己同型は ∗-準同型として持ち上げ可能である。
• 本論文は、単位的分離可能単純核的 C*-代数に対して、強制法則が成り立つ限り、簡約積の同型はインデックス集合のほぼ置換と因子間の同型によって誘導されるという予想を提示する。