[論文レビュー] Logics of Essence and Accident

Jie Fan|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2015

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、原始的本質作用素を用いて本質と偶然の de dicto 形式化を提示し、そのモデル理論および双対性フレームワークを確立し、先行研究における構文・意味論の不一致を解消する非反射的で新規の正規モデル構成法を提供する。本稿は、対称フレームを含むさまざまなフレームクラスにおける完全性を証明し、特殊フレームのための公理を自動で計算する手法を提示し、先行文献における未解決の問いに答えている。

ABSTRACT

In the literature, essence is formalized in two different ways, either de dicto, or de re. Following \cite{Marcos:2005}, we adopt its de dicto formalization: a formula is essential, if once it is true, it is necessarily true; otherwise, it is accidental. In this article, we study the model theory and axiomatization of the logic of essence and accident, i.e. the logic with essence operator (or accident operator) as the only primitive modality. We show that the logic of essence and accident is less expressive than modal logic on non-reflexive models, but the two logics are equally expressive on reflexive models. We prove that some frame properties are undefinable in the logic of essence and accident, while some are. We propose the suitable bisimulation for this logic, based on which we characterize the expressive power of this logic within modal logic and within first-order logic. We axiomatize this logic over various frame classes, among which the symmetric case is missing, and our method is more suitable than those in the literature. We also find a method to compute certain axioms used to axiomatize this logic over special frames in the literature. As a side effect, we answer some open questions raised in \cite{Marcos:2005}.

研究の動機と目的

• 先行の本質と偶然の論理の公理化における構文・意味論の不一致、すなわち正規フレームは反射的であるが意味論は任意のフレーム上で定義されているという問題を解決すること。
• 本質と偶然の論理における表現力の特徴づけを可能にする、適切な双対性の概念を構築すること。
• 特に対称フレームのギャップを埋めるために、さまざまなフレームクラスにおける論理の公理化により適した一般化された手法を提供すること。
• 文献[11]で提起されたフレーム定義可能性および完全性に関する未解決の問いに答えること。
• 特定のフレームタイプにおける論理を特徴づけるために必要な公理を自動で計算する手法を提供すること。

提案手法

• 正規関係を集合 $\{\varphi \mid \circ\varphi \land \varphi \in s\}$ によって定義する新規な正規モデル構成法を提案し、自動的な反射性を回避する。
• 正規関係に基づく、本質と偶然の論理に特化した双対性を導入し、モデル間の比較と表現力の分析に用いる。
• 反射的フレーム上で $\mathcal{L}(\Box)$ から $\mathcal{L}(\circ)$ への翻訳を用いて、対称フレームにおける完全性結果を導出する。
• フレーム対応性および定義可能性技術を用いて、論理で表現可能なフレーム性質を同定する。
• 洗練された正規モデルを用いた標準的な証明論的手法（完全性、妥当性）を用い、フレームクラス上で強い完全性を確立する。
• フレーム条件とその論理的同値物を分析することにより、特殊フレームクラスのための公理を体系的に計算する手法を開発する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 本質と偶然の論理の正規モデルを、先行研究に見られる反射性バイアスを避ける形で構成することは可能か？
• RQ2 本質と偶然の論理で定義可能なフレーム性質は何か、定義不能なものは何か？
• RQ3 本質と偶然の論理の表現力は、標準的モーダル論理と比べてどう異なるか？
• RQ4 対称フレーム上での正しい公理化とは何か、そしてそれを体系的に導出する方法は何か？
• RQ5 特定のフレームタイプにおける論理を特徴づけるために必要な公理を自動で計算する手法を開発することは可能か？

主な発見

• 非反射的モデル上では本質と偶然の論理はモーダル論理より表現力が低いが、反射的モデル上では同等の表現力を有する。
• 論理は一部のフレーム性質（例：非反射性）を定義できないが、他の性質（例：対称性、ユークリッド性、推移性）を定義可能である。
• 本質と偶然の論理におけるモデルの論理的同値性を正しく捉える新しい双対性関係が提案された。
• 提案された正規モデル構成法は、反射性を強制しないことで、先行研究における構文・意味論の不一致を回避する。
• $\mathcal{S}5$-フレーム上で論理が強い完全性を示し、公理化 $\mathbf{KB5}^\circ$ を用いる。また、$\mathcal{L}(\Box)$ からの翻訳を用いて、対称フレーム上でも完全性が確立された。
• 特殊フレームクラスのための公理を自動で計算する手法が開発され、[11]における未解決問題が解決された。