[論文レビュー] Long iterations for the continuum

Saharon Shelah|ArXiv.org|Dec 21, 2001

Advanced Topology and Set Theory被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、連続体を制御しながら $\aleph_1$ を保存し、正しく性を保つために ' trunk コントローラ' と ${\cal F}$-反復を用いた、長反復におけるフォーシング集合論の新しい枠組みを導入する。$\aleph_1$ の保存条件と純粋決定可能性の条件を確立し、Shelah の [Sh:592] の結果を拡張して、Borel 猜定が成り立つが ${\mathfrak{b}}$ が大きいモデルの構成にこの手法を適用する。

ABSTRACT

We deal with an iteration theorem of forcing notion with a kind of countable support of nice enough forcing notion which is proper aleph_2-c.c. forcing notions. We then look at some special cases (Q_D 's preceded by random forcing).

研究の動機と目的

• 長反復の枠組みを構築し、連続体を増加させつつ $\aleph_1$ を保存すること。
• 可算補題付き反復と純粋拡張を管理するためのツールとして 'trunk コントローラ' を定義・分析すること。
• ${\cal F}$-反復における $\aleph_1$ の保存と純粋決定可能性を保証する条件を確立すること。
• この手法を用いて、Borel 猜定の類縁の性質を満たし、${\mathfrak{b}}$ が大きいモデルを構成すること。
• モデル上の '大きな' 超フィルターと連続性の概念を一般化し、反復安定性を支えること。

提案手法

• 強制的条件とその拡張を管理するため、準順序 $\leq_{\text{pr}}$、$\leq_{\text{apr}}$、$\leq_{\text{us}}$ を備えた 'trunk コントローラ' ${\cal F}$ を導入する。
• ${\cal F}$-反復を、列 $\langle X_\beta : \beta < \alpha \rangle$ を条件とする標準的反復の一般化として定義する。
• $\aleph_1$ の崩壊を防ぐための十分条件として、${\cal F}$-擬可換性条件（${\cal F}$-psc）を導入する。
• 測度の収束と一般性の制御をモデル化するため、$\omega$ 上の超フィルター $D$ と木の極限 $\text{Lim}_D\langle T_n : n < \omega \rangle$ を用いる。
• 反復の出発点としてランダム強制 $\mathbb{Q}_0$ を取り、その後に $\mathbb{Q}_\alpha = \mathbb{Q}_{\mathaccent 28694{D}}$ を設定する。ここで $\mathaccent 28694{D}_\alpha$ は $\mathbb{P}_\alpha$-名としての非主超フィルターを表す。
• 超フィルターの 'ラマセー的' 性質を一般化し、$\mathbb{P}_\alpha$-一般的実数が以前のモデル上でランダムのままであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\cal F}$-反復において $\aleph_1$ が保存されるための条件は何か？
• RQ2 可算補題付き長反復において、純粋決定可能性をどのように保証できるか？
• RQ3 Borel 猜定が成り立つが ${\mathfrak{b}}$ が大きいモデルを構成できるか？
• RQ4 長反復において、一般的実数が以前のモデル上でランダムのままであるための条件は何か？
• RQ5 '大きな' 超フィルターの概念を一般化し、反復安定性を支えるにはどうすればよいか？

主な発見

• 本論文は、$\mathaccent 28694{\mathbb{Q}}$ が ${\cal F}$-psc 反復であれば、その極限強制 $\text{Lim}_{\cal F}(\mathaccent 28694{\mathbb{Q}})$ も ${\cal F}$-psc であることを証明し、$\aleph_1$ の保存を保証する。
• 純粋決定可能性の十分条件は、集合のペアによる c.c.c. の証拠を伴う Claim ? に与えられる。
• この手法により、$\alpha < \lambda$ に対して $\mathaccent 28694{\mathbb{Q}} \in {\mathfrak{K}}_\alpha$ となる強制が構成可能であり、$\lambda$ 個のランダム実数が追加され、$\mathfrak{b} = \mathfrak{d} = \aleph_2$ となる。
• $\alpha = \lambda^+$ の場合、$\text{cov}(\text{Null}_{\cal G}) = \aleph_\omega$、$\mathfrak{b} = \mathfrak{d} = \aleph_2$ を満たすようなそのような強制の存在を示す。
• ${\cal G}$-連続性が一般的実数の $R_g$-大きさと同値であることを確立し、主要な技術的ブリッジを提供する。
• フィルター $D$ が ${\cal Y}$-狭く、特定の極限条件を満たしていれば、$M$ 上で ${\cal L}$-大きなフィルターに拡張可能であり、反復における一般性を保証する。