[論文レビュー] Long $n$-zero-free sequences in finite cyclic groups

Svetoslav Savchev, Fang Chen|ArXiv.org|Apr 16, 2006

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、長さが $3n/2 - 1$ より大きい巡回群 $\mathbb{Z}_n$ における $n$-零自由列を特徴づけ、それらが $L(\alpha) < n$ および $L(1 - \beta) < n$ を満たす二つの列 $\alpha$ と $\beta$ の和集合に類似していること、かつその特徴づけが最適であり、より短い長さには拡張できないことを示している。この特徴づけにより、項の重複度に対する最良の下界が得られ、Erdős–Ginzburg–Ziv定理に関連する関数の値が広いパラメータ範囲で特定される。

ABSTRACT

A sequence in the additive group ${\mathbb Z}_n$ of integers modulo $n$ is called $n$-zero-free if it does not contain subsequences with length $n$ and sum zero. The article characterizes the $n$-zero-free sequences in ${\mathbb Z}_n$ of length greater than $3n/2-1$. The structure of these sequences is completely determined, which generalizes a number of previously known facts. The characterization cannot be extended in the same form to shorter sequence lengths. Consequences of the main result are best possible lower bounds for the maximum multiplicity of a term in an $n$-zero-free sequence of any given length greater than $3n/2-1$ in ${\mathbb Z}_n$, and also for the combined multiplicity of the two most repeated terms. Yet another application is finding the values in a certain range of a function related to the classic theorem of Erdős, Ginzburg and Ziv.

研究の動機と目的

• 長さが $3n/2 - 1$ より大きい $\mathbb{Z}_n$ における $n$-零自由列をアフィン同値の意味で特徴づけること。
• 長さ $2n-2$ および $2n-3$ の $n$-零自由列に関する先行結果を、より広い長さ範囲に一般化すること。
• このような列における項の最大重複度および最も頻出する二つの項の重複度の合計に対する、最良の下界を導出すること。
• $4 \leq k \leq \sqrt{2n-1}+1$ の範囲で、$k$ 個の異なる項を持つ列において $n$ 項のゼロ和部分列を保証する最小長を示す関数 $g(n,k)$ の値を特定すること。

提案手法

• 特徴づけは、[10] における $\mathbb{Z}_n$ における長さ $> n/2$ の零自由列に関する重要な構造的結果に依存する。
• アフィン変換および並べ替えの下で不変である類似性の意味で列を分析し、$n$-零自由列を分類する。
• 列の標準形を定義するために、最小正の代表元の和 $L(\alpha)$ および $L(1 - \beta)$ を用いる。
• $L(\alpha)$ および $L(1 - \beta)$ の境界から、$x^2/2$ および $y^2/2$ 項を含む不等式を導出し、異なる項の数に対する二次的上限を得る。
• 鳩の巣原理と極値組合せ論を用いて、$\ell > n/2$ のとき、長さ $n - 1 + \ell$ の列が $k$ 個の異なる項を持つためには $k$ が閾値を超えることはできないことを示す。
• $g(n,k)$ は、$k$ 個の異なる項を持つ $n$-零自由列を構成し、それより長い列は必ず $n$ 項のゼロ和部分列を含むことを証明することで分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さが $3n/2 - 1$ より大きい $\mathbb{Z}_n$ における $n$-零自由列の完全な構造は何か？
• RQ2 長大な列と同様の形で、$n$-零自由列の特徴づけをより短い長さに拡張できるか？
• RQ3 長さ $n - 1 + k$ で $n/2 < k < n$ を満たす $n$-零自由列において、単一の項の最大重複度に対する最良の下界は何か？
• RQ4 $k \leq \sqrt{2n - 1} + 1$ の範囲で、$k$ 個の異なる項を持つ列において $n$ 項のゼロ和部分列を保証する最小長を与える関数 $g(n,k)$ の値は何か？

主な発見

• 長さが $3n/2 - 1$ より大きい $\mathbb{Z}_n$ におけるすべての $n$-零自由列は、$L(\alpha) < n$ および $L(1 - \beta) < n$ を満たす二つの列 $\alpha$ と $\beta$ の和集合 $\alpha \cup \beta$ に類似しており、この特徴づけは最適であり、より短い長さには拡張できない。
• 長さ $n - 1 + k$ で $n/2 < k < n$ を満たす列において、任意の項の最大重複度は $k + 1$ 以上であり、この下界は最良のものである。
• このような列において、最も頻出する二つの項の重複度の合計は $2k$ 以上であり、この下界に対しても最良のものである。
• 関数 $g(n,k)$ は、$k$ 個の異なる項を持つ列において $n$ 項のゼロ和部分列を保証する最小長を表し、$4 \leq k \leq \sqrt{2n - 1} + 1$ の範囲で $g(n,k) = 2n - 1 - \left\lfloor \left(\frac{k-1}{2}\right)^2 \right\rfloor$ を満たす。これは、以前の結果をより広い範囲に拡張する。
• $g(n,k)$ の下界構成では、ゼロの周りに対称的な項分布を持つ列が用いられ、$L(\alpha)$ および $L(1 - \beta)$ の和の条件により、これらが $n$-零自由であることが証明される。
• 証明により、長さ $n - 1 + \ell$ で $\ell > n/2$ を満たす任意の $n$-零自由列は、$\ell = n - \left\lfloor \left(\frac{k-1}{2}\right)^2 \right\rfloor$ のとき、$k - 1$ 個以下の異なる項しか持てないことが示され、$g(n,k)$ の上界が導かれる。