[論文レビュー] Long paths and cycles in random subgraphs of H-free graphs

Michael Krivelevich, Wojciech Samotij|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の $ \mathcal{H} $-free なグラフ $ G $ のランダム部分グラフ $ G_p $ において、最小次数が $ k $ 以上であるとき、$ p \geq \frac{1+\varepsilon}{k} $ ならば、$ k \to \infty $ の際に高確率で長さが $ n_{\mathcal{H}}(\delta k) $ 以上のサイクルが存在することを確立している。ここで $ n_{\mathcal{H}}(k) $ は平均次数が少なくとも $ k $ であるような $ \mathcal{H} $-free なグラフの頂点数の最小値を表す。この結果は、ランダム部分グラフにおける長距離パスおよびサイクルに関する古典的結果を $ \mathcal{H} $-free グラフの文脈に一般化するものである。

ABSTRACT

Let $\mathcal{H}$ be a given finite (possibly empty) family of connected graphs, each containing a cycle, and let $G$ be an arbitrary finite $\mathcal{H}$-free graph with minimum degree at least $k$. For $p \in [0,1]$, we form a $p$-random subgraph $G_p$ of $G$ by independently keeping each edge of $G$ with probability $p$. Extending a classical result of Ajtai, Komlós, and Szemerédi, we prove that for every positive $\varepsilon$, there exists a positive $δ$ (depending only on $\varepsilon$) such that the following holds: If $p \ge \frac{1+\varepsilon}{k}$, then with probability tending to $1$ as $k o \infty$, the random graph $G_p$ contains a cycle of length at least $n_{\mathcal{H}}(δk)$, where $n_{\mathcal{H}}(k)>k$ is the minimum number of vertices in an $\mathcal{H}$-free graph of average degree at least $k$. Thus in particular $G_p$ as above typically contains a cycle of length at least linear in $k$.

研究の動機と目的

• ランダム部分グラフにおける長距離パスおよびサイクルに関する古典的結果を、連結でサイクルを持つ有限なグラフ族 $ \mathcal{H} $ の $ \mathcal{H} $-free グラフへ拡張すること。
• 最小次数 $ k $ の $ \mathcal{H} $-free グラフの $ p $-ランダム部分グラフにおける長距離サイクルの出現閾値を特定すること。これは、Erdős–Rényi および Ajtai–Komlós–Szemerédi の結果を一般化するものである。
• $ G_p $ における最長サイクルの長さを特定し、それが $ n_{\mathcal{H}}(\delta k) $ 以上であることを示すこと。ここで $ n_{\mathcal{H}}(k) $ は平均次数 $ \geq k $ の $ \mathcal{H} $-free グラフにおける頂点数の最小値を表す。
• $ \mathcal{H} $ が空集合の場合に、このサイクル長が $ k $ に対して線形的になることを確立し、$ G(n,p) $ における古典的な線形長サイクル結果を回復すること。
• $ \varepsilon $, $ \delta $ および $ \mathcal{H} $ の構造に依存するサイクル長の依存関係、特に $ n_{\mathcal{H}}(k) $ の漸近的挙動を調査すること。

提案手法

• 有限な $ \mathcal{H} $-free グラフ $ G $ に対して、最小次数が $ k $ 以上であるとし、各辺を独立に確率 $ p $ で残すことで得られる $ p $-ランダム部分グラフ $ G_p $ を定義する。
• Turán 型の境界 $ \mathrm{ex}(n, \mathcal{H}) $ を用いて、$ n_{\mathcal{H}}(k) $ を定義する。これは、$ n $ 頂点の $ \mathcal{H} $-free グラフが平均次数 $ \geq k $ を満たす最小の $ n $ を表す。
• 確率論的手法を用いて、$ p \geq \frac{1+\varepsilon}{k} $ のとき、$ G_p $ が高確率で $ \Omega(n) $ 個の過剰辺を含むことを示し、これにより長距離サイクルの存在が保証されることを示す。
• 頂点集合 $ V(R) $ で誘導される部分グラフの平均次数が $ c k $ 以上（$ c > 0 $）となるような根付き木 $ R $ を $ G_p $ 内に構成することで、長距離サイクルを強制する。
• 過剰辺の個数と $ \mathcal{H} $-free グラフの構造的性質を組み合わせ、小サイズの木成分の個数を制限し、高平均次数を持つ大きな成分を保証する。
• 既知の極値グラフ理論の境界（例えば $ \mathrm{ex}(3\ell, \mathcal{H}) \leq 10 \cdot \mathrm{ex}(\ell, \mathcal{H}) $）を用いて、高次数の辺の個数を制御し、サイクル長を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小次数 $ k $ の $ \mathcal{H} $-free グラフの $ p $-ランダム部分グラフにおいて、$ p \geq \frac{1+\varepsilon}{k} $ のとき、通常はどのくらいの長さのサイクルが出現するか？
• RQ2 サイクル長はグラフ族 $ \mathcal{H} $ にどのように依存するか、特に平均次数 $ \geq k $ の $ \mathcal{H} $-free グラフの最小サイズを測る関数 $ n_{\mathcal{H}}(k) $ を通じてどのように依存するか？
• RQ3 最小次数を平均次数 $ k $ に置き換えても、閾値 $ p \geq \frac{1+\varepsilon}{k} $ が長距離サイクルの存在を保証できるか。また、この閾値は最適か？
• RQ4 $ \varepsilon $ に依存するサイクル長の依存関係は何か。また、$ \mathcal{H} = \emptyset $ の場合に既知の境界と一致するように、$ n_{\mathcal{H}}(\delta k) $ の指数を改善できるか？
• RQ5 $ \mathcal{H} $-free グラフの構造は、ランダム部分グラフにおける長距離サイクルの出現にどのように影響するか。特に、極値グラフ理論の制約の観点から検討する。

主な発見

• 任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、ある $ \delta > 0 $ が存在し、$ p \geq \frac{1+\varepsilon}{k} $ ならば、$ k \to \infty $ の際に高確率で $ G_p $ に長さが $ n_{\mathcal{H}}(\delta k) $ 以上のサイクルが存在する。
• $ n_{\mathcal{H}}(k) $ は $ k $ に対して超線形的に増加し、$ \mathcal{H} = \emptyset $ の場合にはサイクル長が $ k $ に対して線形的になる。これは、$ G(n,p) $ における古典的結果を回復する。
• $ \delta $ と $ \varepsilon $ の依存関係は多項式的であり、$ n_{\mathcal{H}}(\delta k) \geq n_{\mathcal{H}}(c_{\mathcal{H}} \varepsilon^{\alpha_{\mathcal{H}}} k) $ を満たすような定数 $ c_{\mathcal{H}}, \alpha_{\mathcal{H}} > 0 $ が $ \mathcal{H} $ に依存して存在する。
• 証明により、$ G_p $ が高確率で $ \Omega(n) $ 個の過剰辺を含むことが示され、これは長距離サイクルの存在を保証するのに十分である。
• $ G $ が正則である場合、証明は簡略化され、高確率で長さが $ \frac{\varepsilon^2}{20C} \cdot k $ 以上のサイクルが存在することが示される。ここで $ C $ は絶対定数である。
• $ \frac{n_{\mathcal{H}}(k)}{n_{\mathcal{H}}(\delta k)} $ は上界として $ \delta + o(1) $ で抑えられるが、多くの $ \mathcal{H} $、特に二部グラフの場合には $ n_{\mathcal{H}}(k) $ の増加率が十分に理解されておらず、$ \delta < 1 $ のときこの比が有界かどうかは未解決の問題である。