[論文レビュー] Long-range entanglement from measuring symmetry-protected topological phases

Nathanan Tantivasadakarn, Ryan Thorngren+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2021

Advanced Electron Microscopy Techniques and Applications参考文献 158被引用数 42

ひとこと要約

この論文は、長距離のエンタングルメントが symmetry-protected topological (SPT) 相を測定することによって生成され得ることを、クラスター状態ベースのエンタングラーを介して実装し、Kramers-Wannier および Jordan-Wigner 変換を適用する、ということを示している。

ABSTRACT

A fundamental distinction between many-body quantum states are those with short- and long-range entanglement (SRE and LRE). The latter cannot be created by finite-depth circuits, underscoring the nonlocal nature of Schrödinger cat states, topological order, and quantum criticality. Remarkably, examples are known where LRE is obtained by performing single-site measurements on SRE, such as the toric code from measuring a sublattice of a 2D cluster state. However, a systematic understanding of when and how measurements of SRE give rise to LRE is still lacking. Here, we establish that LRE appears upon performing measurements on symmetry-protected topological (SPT) phases -- of which the cluster state is one example. For instance, we show how to implement the Kramers-Wannier transformation by adding a cluster SPT to an input state followed by measurement. This transformation naturally relates states with SRE and LRE. An application is the realization of double-semion order when the input state is the $\mathbb Z_2$ Levin-Gu SPT. Similarly, the addition of fermionic SPTs and measurement leads to an implementation of the Jordan-Wigner transformation of a general state. More generally, we argue that a large class of SPT phases protected by $G imes H$ symmetry gives rise to anomalous LRE upon measuring $G$-charges, and we prove that this persists for generic points in the SPT phase under certain conditions. Our work introduces a new practical tool for using SPT phases as resources for creating LRE, and uncovers the classification result that all states related by sequentially gauging Abelian groups or by Jordan-Wigner transformation are in the same equivalence class, once we augment finite-depth circuits with single-site measurements. In particular, any topological or fracton order with a solvable finite gauge group can be obtained from a product state in this way.

研究の動機と目的

• 多体系の状態における短距離エンタングルメントと長距離エンタングルメントの区別を動機づけ、SRE状態に対する測定によってLREがいつ作成できるかを特定する。
• SPT相を測定することがLREを誘発することを実証し、これをSPTの異常や境界物理と結びつける。
• 測定支援のSPTエンタングリング操作によってKWおよびJW変換を実現する方法を示す。
• この枠組みから生じるトポロジー秩序の例（例：ダブルセミオン）やフェルミオン性SPTの例を提供する。
• 連続ゲージングまたはジャordan-Wigner変換によって関連付けられた状態は、測定を付加した場合に同じ同値類に属するという一般的な分類を提案する。

提案手法

• 最近傍のCZゲートの積として、クラスター状態エンタングラーU_CZを定義する。
• U_CZでエンタングルした後、サブラ mitetzeを測定することがKramers-Wannier (KW) 対応を実装する。
• KWは積状態を長距離エンタングル状態へ写すことを示す（1DではGHZ、2Dではトリックコード）。
• G×H対称性を持つSPTを含むように枠組みを拡張し、G電荷を測定したときにLREが生じることを示す。
• フェルミオン性SPTに対して同様の手続を適用し、JW変換を実現する。
• 対称性分数化の議論を用いて、LREがSPT相全体を通じて堅牢であると主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SPT相を測定することで長距離エンタングルメントが生じる条件は何か。
• RQ2 KWおよびJW変換を測定支援型クラスター状態プロトコルによってどのように実装できるか。
• RQ3 SPTを測定することで生じるトポロジー秩序は何か、そしてそれらは既知のモデル（例：ダブルセミオン、トリックコード）とどう関係するか。
• RQ4 ボゾニックからフェルミオン性SPTや高次のG×H対称性へ拡張したとき、仕組みはどれだけ一般的か。
• RQ5 連続ゲージング、JW変換、および有限深度の回路と測定を用いた場合の状態の同値類との関係は何か。

主な発見

• LREは、固定点SPT波動関数だけでなく、SPT相を測定したときに現れる。
• クラスター状態エンタングラーと単一サイト測定を組み合わせると、入力状態に対してKW対が実装される。
• Aサブ格子でLevin-Gu Z2 SPTを測定すると、ダブルセミオンのトポロジー秩序を生じる。
• フェルミオンの場合、一般状態に対してJordan-Wigner変換を実装する。
• G×H対称性によって保護された広範なSPT相は、G電荷を測定することで異常LREを生じ、SPTデータと出現するLREを結びつける。
• アブelian群の逐次ゲージングやJW変換によって関連付けられた状態は、有限深度回路と測定を付加した場合、同じ同値類に属する。