[論文レビュー] Long-range interacting classical systems: universality in mixing weakening

Alessandro Campa, Andrea Giansanti+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2000

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、$d=2$および$3$次元の慣性的$XY$モデルにおける$r^{-\alpha}$相互作用を有する長距離相互作用系の分子動力学的シミュレーションを用いて、古典的系における動的カオスの性質を調査している。結果として、スケーリングされた最大リャプノフ指数が$N^{-\kappa}$に従って減少することを示しており、ここで$\kappa$は$\alpha/d$の普遍的関数であり、$\alpha/d$が0から1に増加するに従い、$1/3$から0に減少する。これは非拡張統計力学と整合的であり、非拡張領域における混合の普遍的弱体化を示している。

ABSTRACT

Through molecular dynamics, we study the $d=2,3$ classical model of $N$ coupled rotators (inertial XY model) assuming a coupling constant which decays with distance as $r_{ij}^{-α}$ ($α\ge 0$). The total energy $$ is asymptotically $\propto N { ilde N}$ with ${ ilde N} \equiv [N^{1-α/d}-(α/d)]/[1-α/d]$, hence the model is thermodynamically extensive if $α/d>1$ and nonextensive otherwise. We numerically show that, for energies above some threshold, the (appropriately scaled) maximum Lyapunov exponent is $\propto N^{-κ}$ where $κ$ is an {\it universal} (one and the same for $d=1,2$ and 3, and all energies) function of $α/d$, which monotonically decreases from 1/3 to zero when $α/d$ increases from 0 to 1, and identically vanishes above 1. These features are consistent with the nonextensive statistical mechanics scenario, where thermodynamic extensivity is associated with {\it exponential} mixing in phase space, whereas {\it weaker} (possibly {\it power-law} in the present case) mixing emerges at the $N o \infty$ limit whenever nonextensivity is observed.

研究の動機と目的

• 長距離相互作用を有する古典的系における系サイズ依存の動的カオスの性質を調査すること。
• 最大リャプノフ指数のスケーリング指数$\kappa$が次元やエネルギーに依存しない普遍性をテストすること。
• ハミルトニアン系における$r^{-\alpha}$相互作用と非拡張性の関係が、混合の弱体化にどのように関連するかを検討すること。
• スケーリング指数$\kappa$が$\alpha/d$にのみ依存し、次元$d$やエネルギー密度$U$に依存しないという仮説を、臨界エネルギー閾値を超えた範囲で検証すること。

提案手法

• $N$個の結合した回転子を含む$d=2$および$d=3$次元格子上での分子動力学的シミュレーションを実施し、$r_{ij}^{-\alpha}$相互作用を考慮する。
• 非拡張領域における熱力学的拡張性を保証するため、ハミルトニアンを$\tilde{N} = [N^{1-\alpha/d} - (\alpha/d)] / [1 - \alpha/d]$によりスケーリングする。
• 最大リャプノフ指数$\lambda_{\text{max}}'$を計算し、$\lambda_{\text{max}}' \propto N^{-\kappa}$を用いて$N$依存性をスケーリング解析する。
• エネルギー保存精度が$10^{-4}$を超える速度・バーレット積分法を用い、全運動量がゼロでエネルギーが固定となるように初期条件を設定する。
• 対数-対数プロットを用いて$\lambda_{\text{max}}'$と$N$の関係から$\kappa$を抽出し、$\alpha/d$の比を用いて次元間でデータを統合する。
• ヘューリスティックなフィット式$\kappa = [1 - (\alpha/d)^2] / [3 + (\alpha/d)^2/2]$を用いて、普遍的$\kappa(\alpha/d)$関数を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケーリング指数$\kappa$が$\alpha/d$にのみ依存し、空間次元$d$とは独立に成立するか？
• RQ2 臨界閾値を超えたエネルギー密度において、最大リャプノフ指数の$N$依存性は普遍的か？
• RQ3 長距離相互作用系における混合の弱体化は、統計力学における非拡張性とどのように関連するか？
• RQ4 観測された$\kappa(\alpha/d)$関数は、$1/r^\alpha$相互作用を有する他の古典的系へ一般化可能か？

主な発見

• 臨界エネルギーを超えた領域では、スケーリングされた最大リャプノフ指数が$\lambda_{\text{max}}' \propto N^{-\kappa}$に従い、$\kappa$は$\alpha/d$にのみ依存する。
• $\alpha/d < 1$の領域では、$\alpha/d$が0から1に増加するに従い、$\kappa$は$1/3$から0に単調に減少し、系サイズの増大に伴いカオス性の弱体化が示唆される。
• $\kappa(\alpha/d)$関数は$d=1,2,3$の全次元で普遍的であり、$\alpha/d$を横軸にプロットすると、すべてのデータが同一曲線に一致する。
• $\alpha/d > 1$の領域では、$\kappa(\alpha/d)$関数は恒等的にゼロとなり、指数的混合と拡張的熱力学と整合的である。
• エネルギー密度の違いに関わらず、$\alpha=0.8$, $d=2$の条件下で$U=5$と$U=8$で同じ$\kappa$値が得られ、スケーリングが一貫していることが確認された。
• 観測された$\kappa(\alpha/d)$関数は、非拡張統計力学の予測と整合的であり、弱体化した混合が非拡張性と関連していることを示している。